감마함수의 중요한 공식 $\Gamma(\displaystyle1/2)=\sqrt{\pi}$ 증명

감마함수와 관련된 중요한 식이 하나 있습니다.

 

보조정리($S.F$) 1.2
$$\Gamma\left( \frac{1}{2} \right)=\sqrt{\pi}$$
$$\Gamma(p)\Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\mathrm{sin}\pi p}$$

 

이 식은 종종 다른 함수나 분야를 공부하다가 가끔씩 반갑게 우리를 맞이해줄 때가 있습니다. 복소적분을 할 때 등장하는 것으로 유명한데, 복소적분을 통해 조금 복잡하게 값을 구하는 것이 가능하기는 하지만 첫번째 식은 감마함수의 정의식으로도 증명 가능하고 지금 이것을 해보려고 합니다. 두번째 식의 증명은 복소적분이 필요하니 복소 해석학 포스팅에서 나중에 다루겠습니다.

 

증명) 감마함수의 정의에 의해

$$\Gamma\left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt t}e^{-t}dt$$
이다. $t=y^2$ 으로 치환적분을 시작하면

$$\int_{0}^{\infty}2y\cdot \frac{1}{y}e^{-y^2}dy=\int_{0}^{\infty}2e^{-y^2}dt=\Gamma\left( \frac{1}{2} \right)$$
그리고 나서 양변을 제곱할 것인데, 우변에서 $\Gamma\left( \frac{1}{2} \right)$ 가 두번 곱해질 때 피적분함수의 문자를 각각 $x,y$로 설정한다.

$$\Gamma\left( \frac{1}{2} \right)\Gamma\left( \frac{1}{2} \right)=4\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx\int_{0}^{\infty}e^{-y^2}dy=4\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-\left( x^2+y^2 \right)}dxdy$$
이는 극좌표로 옮길 수 있다.

$$\begin{align*} \Gamma\left( \frac{1}{2} \right)\Gamma\left( \frac{1}{2} \right) &=4\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-\left( x^2+y^2 \right)}dxdy \\\\&=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta \\\\&=\pi\int_{0}^{\infty}2re^{-r^2}dr \\\\&=\pi \times \left[ e^{-r^2} \right]_{\infty}^{0} \\\\&=\pi \end{align*}$$
$$\therefore \Gamma\left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)>0 \;\;\Rightarrow \;\; \Gamma\left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)=\sqrt{\pi}$$