반응형 위상수학(Topology)/연결공간2 실직선에서의 연결 부분공간과 중간값의 정리(Connected subspaces of the Real line and the Intermediate Value Theorem) 연결성과 분리에 대한 기초 작업이 끝나게 되면, 우선 실수에서의 연결성을 먼저 들여다보는 작업이 필요합니다. 실수의 연결성을 살펴볼 때는 연결공간의 기초 개념들을 마구 사용하기 때문에 연결성에 대한 글을 반드시 먼저 참고하시기 바랍니다. 그리고 나아가 실수의 연결성을 학습하면 중간값의 정리를 가장 추상적으로 증명하는 것이 가능합니다. 1. 실수의 연결성 우선 실수의 연결성을 가장 먼저 다루는 것으로 시작하겠습니다. 정리($T.P$) 4.10) 실수는 연결집합이다.$\mathbb{R}$ 은 연결되어 있다. 즉 연결공간, 연결집합이다.증명) $\mathbb{R}$ 이 연결되어 있지 않다고 가정하여 귀류법을 사용하자. 그러면 $\mathbb{R}$ 의 열린 부분집합 $U,V$ 가 존재하여 $U,V\neq \e.. 2024. 6. 15. 위상수학에서 연결공간과 분리(Connected space and separation in topology) 위상동형에 대한 간단한 정의를 기억하게 되었다면 다음으로 공간의 연결성과 옹골성(compact)을 차례대로 학습하고, 위상동형의 개념을 몫 공간에 대한 개념과 연결짓게 되면 본격적으로 위상수학에 대한 감이 잡히게 됩니다. 이번 글에서는 연결성을 다룰 것이며 연결성의 개념은 앞 부분에 비해서 많이 어렵지 않기 때문에 여태까지 배운 내용만 잊지 않았다면 천천히 학습하는 것이 가능합니다. 1. 분리성 1) 정의 정의($T.P$) 4-1) 위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 를 생각하자. $X$ 의 공집합이 아닌 두 부분집합 $U,V\in\mathcal{T}$ 에 대해 $U\cap V = \emptyset$ 이고 $X=U\cup V$ 가 성립하는 경우, $X$ 는 '분리되어 있다(separated)' 또.. 2024. 6. 12. 이전 1 다음
