반응형 선형대수학(Linear Algebra)/행렬과 행렬식20 교환자과 교환관계(Commutator) 교환자는 연산자 또는 행렬에 대해 사용할 수 있는 개념입니다. 두 행렬 또는 연산자 $A,B$ 에 대하여 '교환자(commutator)'는 $$\left[ A,B \right]=AB-BA$$ 로 정의한다. 만일 $\left[ A,B \right]=0$, 즉 $AB=BA$ 이면 두 행렬 또는 연산자는 '교환한다(commute)'고 한다. 교환자는 어떤 상황에서 사용할까요? 우선 그 자체로 간단하게는 교환법칙의 성립 여부를 확인할 수 있습니다. 행렬이나 연산자는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않습니다. 연산자(operator)는 선형함수의 특수한 경우인데, 간단히 말하자면 정의역과 공역이 같은 함수라고 생각하시면 됩니다. 함수의 합성 과정에서도 $f\dot g$ 와 $g\dot f$ 가 일반적으로 같지는 않.. 2023. 2. 9. 행렬의 주대각합(Trace of Matrix) 어떤 행렬에 대해 주대각합이 언제나 중요한 의미를 갖는 것은 아닙니다. 다만 고유값 문제를 해결하는 경우처럼 주대각성분들의 합이 쓰일 때가 있는데 그 때 간편한 기호를 통해 나타내면 편리하기 때문에 따로 정의하는 것이라 보면 됩니다. 더욱이 주대각합은 다음과 같은 일반적으로 행렬의 관계에서 성립하는 관계들을 만족합니다. 1. 주대각합 1) 정의 $A\in M_n(F)$ 의 '주대각합(trace)' 는 $A$의 모든 주대각성분의 합이며, $\mathrm{tr} A$ 로 나타내고 다음과 같이 정의한다. $$\mathrm{tr} A=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$$ 참고로 주대각합을 '흔적(trace)'으로 직역한 교과서들도 있습니다. 2) 성질 정리.. 2022. 3. 8. 론스키안 행렬식 (Wronskian determinant) 벡터공간의 조건을 만족하는 대상이 일반 함수가 될 수도 있습니다. 일반 함수들 사이에서 선형독립 관계를 쉽게 확인할 수 있는 방법이 바로 오늘 할 론스키안을 이용하는 것입니다. 이것은 행렬식의 일종이긴 한데, 선형대수보다는 미분방정식에서 해 사이의 관계를 유의깊게 살펴볼 때 좀 더 애용하는 도구입니다. 물론 여기서도, 함수들이 선형결합 되어 있을 때 그 계수들이 오로지 모두 0인 자명해(trivial solution)만을 가져야 선형결합 = 0 인 식을 만족한다면 선형독립이라는 기본 개념이 동일하게 적용됩니다. 1. 정의 다음과 같이 서로 다른 $n$개의 함수를 행에 배치하고 그들의 $n-1$계 도함수를 차례대로 열에 배열한 행렬의 행렬식을 '론스키안 행렬식(Wronskian determinant)' 또.. 2020. 12. 15. 행렬식의 여러 성질들 (Various properties of determinant) 행렬식의 계산을 유용하기 위해 쓰이는 수많은 행렬식의 성질들이 있습니다. 이들은 전부 다는 아니더라도 중요한 성질 위주로 암기를 해 놓으면 좋습니다. 정리($L.A$) 3.4 행렬 $A,B,C\in M_n(F)$ 일 때, 행렬식에 대해 다음 성질들이 성립한다. ① 행렬 $A$ 가 영행을 가지면 $\mathrm{det}A=0$ 이다. ② 행렬 $A$ 의 두 행이 서로 같으면 $\mathrm{det}A=0$ 이다. ③ 행렬 $A$ 의 두 행을 교환해서 얻은 행렬을 $B$라 하면 $\mathrm{det}A=-\mathrm{det}B$ 이다. ④ 행렬 $A$의 한 행에 영이 아닌 스칼라 $k$를 곱해서 얻은 행렬을 $B$라 하면 $\mathrm{det}A=k\,\mathrm{det}B$ 이다. ⑤ 행렬 $A$의.. 2020. 12. 11. 크래머 공식(Cramer's Rule) 행렬식은 치환, 여인수 전개, 사루스 공식 등을 이용해 구할 수 있다고 설명했었습니다. 그런데 행렬식이 연립방정식 $A\mathrm{x}=\mathrm{b}$를 해결할 때 $\mathrm{det}A\neq 0$이면 가역행렬에 관한 정리에 의해 방정식의 유일해가 존재함을 알고 있을 것입니다. 이러한 성질을 이용하여, $\mathrm{det}A\neq 0$ 일 때 방정식의 해를 행렬식 계산으로만 구할 수 있는 방법이 있습니다. 이것이 오늘 할 크래머,크라메르 공식 또는 규칙(Cramer's Rule) 입니다. 정리($L.A$) 3.3 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 을 $n$개의 미지수를 가진 $n$개의 연립방정식의 행렬표현이라 하자. 계수행렬의 행렬식 $\mathrm{det}A\neq 0$이면.. 2020. 12. 11. 행렬식의 다중 선형성(n-linearity, multi linearity of determinants) 행렬식은 의외로 선형대수학의 중요한 주제이지만 선형성을 가지지는 않습니다. 그러나 선형성은 아니지만 선형과 유사한 성질을 가집니다. 이것은 저번 포스팅 도입부에서 짤막하게 이야기했었던 행렬식의 존재를 정의하는 3가지 특징 중 하나이기도 한데 오늘 그것을 다루어 보려고 합니다. 1. 다중 선형성(n-linearity) 1) 행렬식과 선형성 행렬식이 선형성을 가지지 않는다는 것은 하나의 반례만으로도 보일 수 있습니다. 예제 1) 행렬 $A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3&4 \end{pmatrix}\;\;,\;\;B=\begin{pmatrix} 3&5\\ 1&0 \end{pmatrix}$ 에 대해 행렬식을 구하고 선형인지 확인해보아라. 행렬식의 값을 구하면 각각 $\mathrm{det}A=-2.. 2020. 12. 10. 행렬식의 정의(Determinants) 행렬식은 영어로 'Determinants'라 하여 직역하면 행렬의 식이라기보단 무언가를 판별이나 결정하는 식이라는 뜻에 가깝습니다.실제로도 원래 연립방정식의 해가 존재하려면 어떤 조건이 필요한지를 연구하는 과정에서 태동한 것입니다. 그러니 행렬보다 행렬식을 먼저 다루기 시작했다는 말도 일리가 있습니다. 행렬식을 정의하고 구하는 방법은 유일하지 않은데, 이는 어렵게 들어가면 행렬식은 사실 다중 선형성(n-linearity), 교대(alternating), 그리고 항등행렬의 행렬식의 값이 1이라는 세 가지 성질을 만족하는 유일한 선형 범함수(Linear functional)에 해당하고 이를 만족하는 하나의 정의가 있지만, 유일성이 보장되어 몇가지 다른 표현을 할 수 있기 때문입니다. 이 성질을 모두 가장 정.. 2020. 12. 10. 가우스-조르당 소거법(Gauss-Jordan Elimination) 비동차 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 의 해는 계수 행렬 $A$의 특성에 의해 좌지우지 됩니다. 행렬 $A$의 행과 열의 개수의 대소관계라던지, $A$의 랭크 혹은 가진 $\mathrm{pivots}$ 의 개수, 정사각행렬이라면 가역성 여부 등이 해의 운명을 결정하게 됩니다. 이러한 비동차 연립방정식의 이론적 측면을 총정리하기 전에, 일단 방정식 자체를 '푸는 법'을 하나 소개하려고 합니다. 그것은 여태까지 배웠던 개념들과 소거법을 숙지하면 깨우칠 수 있는 방법입니다. 1. 가우스 소거법과 가우스-조르당 소거법 1) 뜻 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 를 첨가행렬 $\begin{bmatrix} A \mid \mathbf{b} \end{bmatrix}$ 로 .. 2020. 12. 2. 가역행렬과 가역성에 대한 모든 정리 (Invertibility of the matrix) 기본행렬과 소거법 누누이 언급했듯이 역행렬을 구하거나 우변이 0이 아닌 비동차 연립방정식의 해를 구하기 위한 것에 의의가 있다고 했습니다. 오늘은 드디어 가역성에 대한 논의를 끝내보려고 합니다. 행렬보다는 행렬식이 먼저 태동했고, 그것은 연립방정식을 잘 풀기 위한 도구를 찾기 위한 시도에서 시작되었습니다. 고민을 거듭하던 수학자들은 1개의 일차방정식 $ax=b$가 해를 가지기 위해서는 $x=b/a$로 쓸 수 있는 값이 존재해야 하고, 그것은 곧 미지수 $x$의 계수 $a$의 역원 $1/a$가 존재해야 한다는 사실을 깨닫게 됩니다. 똑같은 원리가 행렬로 표현된 연립방정식에서도 적용되어, $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 에서도 미지수 앞의 계수행렬 $A$의 역원 역할을 하는 무언가가 존재해야 해.. 2020. 12. 1. 행 사다리꼴, 기약 행 사다리꼴 행렬 (Reduced Row-Echelon form) 이제부터 주어진 행렬을 서서히 기본 행 연산을 통해 변형시킬 것입니다. 변형의 목적은 역행렬을 구하거나 연립방정식의 해를 구하는 것에 있습니다. 저번 시간에 설명한 기본 행 연산은 중학생의 테크닉으로 풀었던 연립방정식과 근본적으로 동일하기 때문에, 주어진 연립방정식의 해를 손상시키지 않습니다. 마찬가지로 한 행렬에 기본 행 연산을 계속 적용을 하더라도 그 행렬의 근본적 특성인 랭크가 변하지 않으며, 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 의 해도 달라지지 않습니다. 1. 사다리꼴 행렬 (Echelon form matrix) 행렬 $B\in M_{m,n}(F)$ 에 대해 다음 세 조건을 고려하자. ① 영행이 있으면 그 행은 $B$의 맨 아래에 위치한다. (영행은 여러개여도 좋고 없어도 된다.. 2020. 12. 1. 기본 행 연산과 기본행렬 (Elementary row operation and Elementary matrix) 여태까지 포스팅했던 글들은 모두 오늘부터 나아갈 기본행렬을 다루고 기본 행 연산을 시행하기 위한 초석에 해당합니다. 이제 본격적으로 연립방정식을 하나하나 해체할 도구를 장착해 나아갈 것입니다. 기본 행 연산은 다양한 전공서적에서 연립방정식과 행렬 이론의 맨 앞 머리부분을 차지하고 있지만, 포스팅을 할 때 그 순서를 지키지 않은 데에는 여러가지 이유가 있습니다. 그 중 가장 큰 이유는 행렬 자체에 대한 설명이 고등학교 교과과정에서 빠지면서 많이 부족할 것이라 생각했기 때문입니다. 그 덕분에, 제가 여태까지 이전에 올려놓았던 행렬에 관한 글들을 순서대로 정독하고 넘어오시는 것을 추천합니다. 1. 기본 행 연산 1) 기본 행 연산의 정의 기본 행 연산은 하나의 행렬에서 행과 열을 조작하는 3가지 방법입니다. .. 2020. 11. 30. 행렬의 영공간 (The Nullspace of Matrix) 연립방정식의 해공간과 관련된 중요한 정리를 알고 나면 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 를 풀기 위해선 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 을 풀 줄 알아야 한다는 사실을 체득했을 것입니다. 오늘은 우변이 영벡터인 이 방정식을 풀어볼 것입니다. 우선, 이 방정식은 반드시 자명해 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 를 갖습니다. 이것은 임의의 행렬 $A$에 대해서 성립하는 것으로, $A$의 성질과는 무관합니다. 그렇다면 행렬 $A$의 특성이 방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 에 영향을 주는 요인은 무엇일까요? 바로 자명해 이외의 해를 만들어내는지의 유무와, 만들어낸다면 그것이 어떤 꼴인지에 관한 것입니다. 1. $A$의 가역성(invertible) 정리($L.A.. 2020. 11. 30. 연립방정식의 해공간과 관련된 중요한 정리(The significant Theorem related with solution space of system of equation) 대학에서 미분방정식을 처음 접할 때 정확한 이유를 구체적으로 설명해주지 않고 뭉뚱그려 설명하는 부분 중 대표적인 2가지는, 1계 선형 미분방정식에서 일반해를 선형결합으로 쓰는 것에 대한 이유, 그리고 2계 선형 미분방정식에서 일반해를 보조해와 특수해의 합으로 쓴다는 점입니다. 많은 학생들이 미분방정식을 처음 배울 때 왜 해를 이렇게 적어야 하는지 이해하지 못합니다. 그것은 미분방정식의 교재가 부실하거나, 강의에 하자가 있는 것이 아닌 선형대수 공부를 제대로 배우지 못했기 때문입니다. 연립방정식, 미분방정식 등에서는 우변이 0일 때와 0이 아닐때로 나누어 푸는 것이 굉장히 중요합니다. 비동차(inhomogeneous)미분방정식의 해는 동차(homogeneous)미분방정식의 해를 포함하는 것과 같이, 연립방.. 2020. 11. 30. 행공간과 열공간(Row space and Column space) 행렬의 수많은 특징은 거듭 강조하듯이 행렬의 '랭크(rank)'가 보유하고 있습니다. 그 다음으로 행렬의 특징을 관찰하는데 좋은 도구는 행렬의 영공간, 행공간, 열공간을 들여다 보는 것입니다. 어쩌면 이들이 모여 랭크라는 우아한 숫자를 건설한 것으로도 볼 수 있는데, 이들은 공간이라는 단어가 들어가 있듯이 행렬에 벡터공간의 논리를 적용한 것입니다. 이것이 가능한 까닭은 행렬은 행들과 열들로 쪼개어 바라볼 수 있고, 각각의 행과 열은 행벡터와 열벡터라는 '벡터'로 생각할 수 있기 때문입니다. 그러면 자연스레 행렬에 대한 벡터공간을 논의할 수 있게 됩니다. 행렬 자체는 벡터공간이라 할 수 있어 행과 열을 따로 보아 행벡터와 열벡터가 만드는 벡터공간이 연립방정식에서 매우 중요한 역할을 합니다. 특히 열벡터의 .. 2020. 11. 30. 행렬의 계수, 랭크(The Rank of matrix) 어떤 한 행렬의 여러가지 특성을 보여주는 지표로서 '랭크(rank)'는 단언컨데 가장 막강한 위력을 발휘합니다. 행렬의 랭크를 알면 행과 열의 독립성, 행공간의 차원, 차원정리, 가역성, 기본행연산 등등에 관한 내용을 완벽히 파악할 수 있습니다. 랭크는 몇몇 전공서적에서는 행렬의 '계수'라 번역해 두었는데, 혼동의 여지가 있으니 본 블로그에서는 그렇게 쓰지 않을 것입니다. 오늘은 랭크를 구하는 방법을 알아볼 것인데, 랭크는 피벗을 설명했을 때 처럼, 랭크 역시 한 줄의 정의로는 개념에 대한 정확한 체득이 어렵고 정의가 다양하기 때문에, 기초부터 천천히 그 뜻을 헤아려 봅시다. 1. 랭크의 정의(Definition of Rank) 1) 행과 열의 기본적 특성으로 정의 랭크에 대한 정의는 크게 4가지로 .. 2020. 11. 29. 선형 연립일차방정식 3) 소거행렬과 치환행렬(Elimination matrix and Permutation matrix) 이제부터 연립일차방정식을 해체할 본격적인 도구를 소개하려고 합니다. 결국 연립일차방정식의 목표는 해를 구하는 것이고, 그 방법은 행렬을 사용할 때는 궁극적으로 '기본행/열연산(Elimentary Row/column operation)'이라 불리는 연산을 유한번 적용하여 보다 행렬의 특성을 판단하기 쉬운 꼴로 바꾸는 것에 있습니다. 그 꼴이란 '행사다리꼴(row-echelon form)' 또는 '기약행사다리꼴(reduced row-echelon form)'입니다. 기본행연산에 대해서는 바로 다음 시간에 포스팅 할 것인데, 3가지 연산 종류가 존재합니다. 이 중 핵심 과정이 미지수를 '소거'하는 것으로, pivot 을 구할때나 중학교때 배웠던 연립일차방정식을 소거법으로 푸는 과정에 해당합니다. 여태까지 .. 2020. 11. 29. 선형 연립일차방정식 2) 피벗과 소거법(Pivots and Elimination method) 연립방정식에 해와 이들을 행렬표현으로 나타냈을 때 수많은 논의들은 행렬의 피벗과 관련성이 있습니다. 피벗이 무엇인지 다루어 보도록 합시다. 1. 소거법과 피벗(pivot) 피벗이 무엇이다, 라고 말하는 방법은 굉장히 많습니다. 처음 공부하시는 분들은 이런 말을 들으면 당황하시겠지만 보통 수학 개념 용어들을 배울 때 정의를 깔고 시작하는 것과 다르게, 피벗과 랭크는 무작정 정의를 들으면 이해가 까다로울 뿐만 아니라 제 의미를 파악하지도 못할 겁니다. 저번 포스팅에서 예로 들었던, 중학교 수준에서 배우는 아래의 연립방정식을 봅시다. $$ \left\{\begin{matrix} x-2y=1\\ 3x+2y=11 \end{matrix}\right.$$ 이것을 소거법으로 풀 것입니다. 헌데 단순히 소거법으로.. 2020. 11. 29. 선형 연립일차방정식 1) 연립일차방정식의 뜻 (System of equation) 대한민국 교육과정에 의하면 중학교에서 우린 처음으로 연립방정식이라는 것을 배우게 됩니다. 연립방정식은 x와 y가 미지수인 일차방정식 두개가 묶여져 있는 것에 지나지 않고 소거법과 대입법을 사용하면 중학생 수준에서 누구나 답을 낼 수 있습니다. 그런데 행렬의 곱셈을 배웠다면 행렬 표현을 이용해 연립방정식을 푸는 것이 가능하고, 이것이 행렬 연습의 첫 단계입니다. 굳이 행렬을 이용해 연립방정식을 푸는 것이 도대체 왜 중요할까요? 그것은 연립방정식을 행렬 표현으로 접근하게 되면 거대한 수학적 감각과 지식을 얻을 수 있기 때문입니다. 첫째로 선형방정식에 대한 전반적인 이해가 가능해집니다.(이것은 미분방정식을 풀 때 아주 큰 도움이 됩니다!) 둘째로 행렬 연산에 보다 익숙해질 수 있으며, 셋째로 행렬의 매우 .. 2020. 11. 28. 행렬의 곱셈(Multiplication of matrices) 행렬의 곱셈은 행렬의 덧셈이나 스칼라 배와는 다르게 각각의 동일한 위치의 성분끼리 숫자를 단순히 더하는 행위로 정의되지 않고, 처음 봤을 때는 당황할 수 있을 정도로 특이하게 정의합니다. 오늘은 그 정의와 그렇게 정의를 하는 이유에 대해 분석해 보려고 합니다. 1. 행렬 곱셈의 정의 행렬은 행렬식과 더불어 연립일차방정식의 해를 구하기 위한 부단한 노력에서 탄생한 녀석입니다. 연립일차방정식의 좌변에는 상수 계수들이 곱해진 미지수들이 존재하고, 우변에는 단순 상수가 존재합니다. 이 연립일차방정식의 숫자와 미지수들을 간단히 표현하기 위해 행렬을 도입해 사용했는데, 그 방법은 미지수와 상수가 곱해져 있는 연립일차방정식의 좌변을 미지수와 상수 각각 따로 분리해 쓰는 것입니다. $$ \left\{\begin{m.. 2020. 11. 28. 행렬이란 무엇인가? (Matrix in Mathematics) 선형대수학이 뭔지 물어보는 사람한테 가장 간단하게 설명할 수 있는 방법은 그것이 행렬을 다루는 수학이라고 대답해주는 것입니다. 수학에서 행렬이 차지하는, 행렬과 관련된 분야는 함수가 차지하는 크기가 걸맞을 정도로 거대하고 방대합니다. 공학에서 사용하는 일종의 프로그래밍 언어인 MATLAB, 세계가 가상임을 깨닫고 주인공이 현실과 가상을 넘나드는 영화 매트릭스의 제목처럼 일상생활에서도 행렬의 영어 표현 'Matrix(Plural : matirices)'는 라틴어로 탄생의 기원인 '자궁'이나 '어머니'에 기반을 두고 있을 정도로 세상의 수많은 현상을 표현할 수 있음을 내포하고 있습니다. 그리하여 응용적인 측면에서 보아도 행렬은 공학과 과학에서 약방의 감초이며, 연립방정식을 푸는데도 지대한 공헌을 했기 때.. 2020. 11. 27. 이전 1 다음 반응형
