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어떤 행렬에 대해 주대각합이 언제나 중요한 의미를 갖는 것은 아닙니다. 다만 고유값 문제를 해결하는 경우처럼 주대각성분들의 합이 쓰일 때가 있는데 그 때 간편한 기호를 통해 나타내면 편리하기 때문에 따로 정의하는 것이라 보면 됩니다. 더욱이 주대각합은 다음과 같은 일반적으로 행렬의 관계에서 성립하는 관계들을 만족합니다.
1. 주대각합
1) 정의
A∈Mn(F) 의 '주대각합(trace)' 는 A의 모든 주대각성분의 합이며, trA 로 나타내고 다음과 같이 정의한다.
trA=a11+a22+⋯+ann=n∑i=1aii
참고로 주대각합을 '흔적(trace)'으로 직역한 교과서들도 있습니다.
2) 성질
정리(L.A) 3.6
A,B∈Mn(F) 와 α∈F 에 대하여 다음이 성립한다.
① trAT=trA
② tr(A+B)=trA+trB
③ tr(αA)=αtrA
④ tr(AB)=trBA
증명) ① 전치행렬은 주대각성분이 바뀌지 않으므로 정의에서 바로 성립한다.
②, ③ 상수배, 행렬의 덧셈을 하면 주대각성분에도 자연스레 똑같이 적용되므로 선형성을 가진다.
④ tr(AB)=∑i(AB)ii=∑i(∑kAikBki)=∑k∑iBkiAik=∑k(BA)kk=tr(BA)
정리(L.A) 3.7
행렬의 주대각합은 순환성을 갖는다. 곧 순서대로 자리바꿈을 해도 그 값이 같다.
tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)
증명)
tr(ABC)=∑i(ABC)iii=∑i∑j∑kAijBjkCki=∑i∑j∑kBjkCkiAij=tr(BCA)=∑i∑j∑kCkiAijBjk=tr(CAB)
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