행렬의 주대각합(Trace of Matrix)

어떤 행렬에 대해 주대각합이 언제나 중요한 의미를 갖는 것은 아닙니다. 다만 고유값 문제를 해결하는 경우처럼 주대각성분들의 합이 쓰일 때가 있는데 그 때 간편한 기호를 통해 나타내면 편리하기 때문에 따로 정의하는 것이라 보면 됩니다. 더욱이 주대각합은 다음과 같은 일반적으로 행렬의 관계에서 성립하는 관계들을 만족합니다.

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1. 주대각합

 

1) 정의

 

$A\in M_n(F)$ 의 '주대각합(trace)' 는 $A$의 모든 주대각성분의 합이며, $\mathrm{tr} A$ 로 나타내고 다음과 같이 정의한다.

$$\mathrm{tr} A=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$$

 

참고로 주대각합을 '흔적(trace)'으로 직역한 교과서들도 있습니다.

 

 

2) 성질

 

정리($L.A$) 3.6
$A,B\in M_n(F)$ 와 $\alpha \in F$ 에 대하여 다음이 성립한다.

① $\mathrm{tr}A^T=\mathrm{tr}A$
② $\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}A+\mathrm{tr}B$
③ $\mathrm{tr}(\alpha A)=\alpha \,\mathrm{tr}A$
④ $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}BA$

 

증명) ① 전치행렬은 주대각성분이 바뀌지 않으므로 정의에서 바로 성립한다.

②, ③ 상수배, 행렬의 덧셈을 하면 주대각성분에도 자연스레 똑같이 적용되므로 선형성을 가진다.

④ $$\begin{align*}
\mathrm{tr}(AB)&=\sum_{i}^{}(AB)_{ii}=\sum_{i}^{}\left( \sum_{k}^{}A_{ik}B_{ki} \right)
\\\\& =\sum_{k}^{}\sum_{i}^{}B_{ki}A_{ik}=\sum_{k}^{}(BA)_{kk}\\\\&=\mathrm{tr}{(BA)}
\end{align*}$$

 

정리($L.A$) 3.7

행렬의 주대각합은 순환성을 갖는다. 곧 순서대로 자리바꿈을 해도 그 값이 같다.

$$\mathrm{tr}\left( ABC \right)=\mathrm{tr}\left( BCA \right)=\mathrm{tr}\left( CAB \right)$$

 

증명)
$$\begin{align*} \mathrm{tr}(ABC)&=\sum_{i}^{}(ABC)_{iii}=\sum_{i}^{}\sum_{j}^{}\sum_{k}^{}A_{ij}B_{jk} C_{ki} \\\\& =\sum_{i}^{}\sum_{j}^{}\sum_{k}^{}B_{jk}C_{ki}A{_ij}=\mathrm{tr}(BCA) \\\\&= \sum_{i}^{}\sum_{j}^{}\sum_{k}^{}C_{ki}A{_ij}B_{jk}=\mathrm{tr}(CAB) \end{align*}$$