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위상수학에서 컴팩트성, 콤팩트성, 옹골성(Compact, compactness in the topology) 컴팩트성은 학부 수준의 수학을 공부할 때 정말 까다롭고 난해한 관문 중 하나입니다. 해석학 후반부에서 등장하긴 하지만 유클리드 공간의 컴팩트성에 제한된 것이고 제대로 된 깊이를 느끼려면 위상수학까지 달려와야 합니다. 또한 위상수학에서도 위상에 대한 기본 지식과 실직선의 특징을 낱낱히 분석했어야 정확한 뜻을 알 수 있는 수준에 도달하는 것이 가능합니다.컴팩트성을 이해할 때 핵심이 되는 개념은 위상 자체보다도 '덮개'를 잘 찾는 것입니다. 제시된 집합이 어떤 유한집합으로 덮어지는지에 초점을 맞추어 상상하는 것이 학습과 이해에 있어 나름의 도움이 될 것이라 믿습니다.1. 덮개, 부분덮개, 컴팩트 정의($T.P$) 6-1) 덮개위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 를 생각하자.① 위상공간 $X$ 의 덮개$X.. 2024. 8. 29.
하우스도르프 공간과 위상공간에서 수열의 수렴(Hausdorff space and the convergence of a sequence in the topological space) 하우스도르프 공간은 위상수학에서 엄청나게 중요합니다. 하우스도르프는 독일의 수학자로 위상수학에 많은 기여를 한 인물입니다. 수학을 공부하면 집합론에서 마주치는 하우스도르프 극대 원리에서 이 인물의 이름을 처음 마주하게 되지요. 하우스도르프는 독일의 유대인 가정에서 태어났고 라이프치히 대학에서 수학과 철학을 공부했습니다. 그러나 안타깝게도 나치 독일 시절 유대인으로서 핍박과 어려움을 겪었고, 끝내 비극적인 죽음을 마주하게 됩니다.  현대 수학에서는 위상수학에서 그의 이름이 붙은 것도 많고 그의 손길이 구석구석 닿은 부분들이 정말 많습니다. 그들 중 하나인 하우스도르프 공간이 오늘 우리가 살펴볼 것입니다. 하우스도르프 공간은 위상수학에서 엄청나게 중요하다고 적어놓았지요. 이것은 컴팩트성을 할 때나 분리공리 .. 2024. 8. 26.
대수학에서 잉여류와 라그랑주 정리(Cosets and Lagrange's Theorem in the Algebra) 유한군의 성질을 분석할 때 가장 애용되는 것이 라그랑주 정리입니다. 라그랑주는 수학과 물리학에 지대한 영향을 미친 사람입니다. 그의 이름이 붙은 것들을 살펴보면 수학에서는 방금 언급한 대수학에서의 라그랑주 정리나, 라그랑주 승수법, 그리고 물리학에서는 고전역학에서 매우 매우 거대한 업적인 최소 작용의 원리와 라그랑주 역학, 천문학에서 라그랑주점 등이 있습니다. 1. 잉여류 정의($A.A$) 2-20) 잉여류군 $G$ 와 $H\leqslant G$ 를 생각하자. 어떤 $a\in G$ 에 대하여,① $Ha:=\{ ha\mid h\in H\}$ 를 $a$ 에 의해 생성되는 $H$ 의 '우잉여류(right coset)'이라 한다.② $aH:=\{ ah \mid h\in H\}$ 를 $a$ 에 의해 생성되는 $H.. 2024. 8. 21.
동형사상, 자기동형사상, 내부자기동형사상(Isomorphism, Automorphism, Inner automorphism) 준동형사상 글에서 언급했듯이 준동형은 연산의 구조를 보존하는 사상입니다. 그 예시를 외계인과의 조우를 통해 아주 실감나게 설명했던 바 있습니다.  그럴일은 없겠지만 만일 제가 살아생전에 외계인을 만난다면 수학과 물리로 대화를 할 수 밖에 없을 것입니다. 그럴 순간이 온다면, 그들의 세상과 언어, 소통의 구조가 우리 인류와 동형일지가 가장 머릿속에 떠오를 것 같습니다.  1. 동형사상 1) 정의 정의($A.A$) 2-17) 군론에서 동형사상군 $G,H$ 와 사상 $\sigma : G\longrightarrow H$ 생각하자. 만일 $\alpha$ 가 준동형이면서 전단사(일대일대응)인 경우, 이를 '동형사상(isomorphism)'이라고 한다. 그리고 $G$ 는 $H$ 와 '동형(isomorphic)'이라 .. 2024. 8. 8.
군의 준동형 사상(group homomorphism) 이제 군론에서 굉장히 중요한 개념인 준동형사상을 다룰 예정입니다. 준동형사상의 개념과 정의는 매우 쉽지만, 그것이 함의하고 있는 뜻을 정확히 분석하는 일이 중요합니다.  참고로 보통 준동형은 사상이라고 말합니다. 함수와 사상의 차이는 설명했던 적이 있기는 한데, 아무래도 사상이라는 표현은 딱 정의역과 공역이 우리가 자주 다루는 수의 집합을 넘어서 추상적인 집합이 등장하면 자주 사용하는 편이기 때문에, 대수학에서는 사상이라는 표현을 좀 더 즐겨 쓴다는 정도로 받아들이면 충분할 것 같습니다. 따라서 제가 본문에서 사상이라고 적든, 함수라고 적든 이는 맥락에서 크게 중요한 사실은 아니기 때문에 걱정하지 않으셔도 됩니다.1. 준동형사상 1) 정의  정의($A.A$) 2-16) 군의 준동형사상$G$ 와 $H$ 를.. 2024. 7. 31.
함수의 연속과 엡실론-델타 논법(Continuity of function) 함수의 극한을 엡실론-델타 논법으로 정의하는 방법을 완전히 이해했다면, 이제 연속성을 건드려볼 차례입니다. 연속의 정의 꼴은 외관상 엡실론-델타 논법의 형태와 크게 달라 보이지 않지만, 내포하는 의미상의 거대한 차이를 제대로 소화하는 것이 굉장히 중요합니다. 연속인 것과 극한이 존재하지만 연속이 아닌 것은 천지차이이기 때문입니다.  참고로 대학교 수학에서 함수의 연속의 정의는 고등학교 때의 정의와 같지 않습니다. 고등학교 수학에서는 연속의 정의를 '극한값과 함숫값이 같을 때'라고 말하지만, 이는 사실 연속성의 정의에서 도출되는 필요충분조건 관계로서 정의가 아니라 정리의 내용입니다. 따라서 연속성의 정의를 함숫값=극한값이라고 고등학교 수학마냥 주먹구구식으로 기억하는 것은 바람직한 자세가 아닙니다. 미적분학.. 2024. 7. 31.
엡실론-N 논법으로 보는 수열의 극한과 코시 수열(Limits of Sequence with epsilon-N method, and Cauchy sequence) 함수의 극한 개념은 엡실론-델타 논법을 통해 미적분학의 앞머리에서 만나게 됩니다. 엡실론-델타 논법을 겨우 겨우 이해했다고 하면 미적분학의 후반부에서 다시 수열의 극한을 만나 비슷한 엡실론-N 논법을 따르게 됩니다. 둘의 논리적 구조는 매우 유사하기 때문에 둘 중 하나를 이해했다면 나머지 하나도 이해하기 용이한 편입니다. 학습 순서상으로 함수의 극한이 수열의 극한보다 먼저 나오기 때문에, 엡실론-델타 논법을 잘 이해하고 오는 것이 중요합니다. 수열의 극한은 그보다 쉽기 때문에 너무 걱정할 필요는 없습니다.1. 수열의 극한 1) 수열의 정의 정의($R.A$) 2-1) 수열정의역이 자연수 또는 자연수의 부분집합인 함수 $f:\mathbb{N}\supseteq X \longrightarrow Y\subsete.. 2024. 7. 30.
거리공간에서 함수의 연속(Continuity in the Metric space) 이제 거리공간을 두 개 잡아두고, 함수를 도입해서 하나의 거리공간에서 다른 거리공간으로 가는 연속함수에 대해 살펴보려고 합니다. 해석학에서 주로 관찰 대상이 되는 함수는 미분이나 적분이 가능한 것이지만, 위상수학에서는 주로 관찰하는 함수는 연속함수에 해당하므로 과목 전반에 걸쳐 연속함수의 중요성은 아무리 강조해도 지나치지 않습니다.  1. 거리공간에서 함수의 연속 1) 정의 거리공간에서 함수의 연속은 다음과 같이 정의합니다. 미적분학에서 해석학에서 했었던 $\mathbb{R}$ 에서의 함수의 연속성을 확장하면 거리공간에서의 정의와 부드럽게 연결될 수 있습니다.  정의($T.P$) 3-13) 거리공간에서 함수의 연속두 거리공간 $(X,d)$ 와 $(Y,d')$ 에 대해 함수 $f: X\longrightar.. 2024. 7. 30.
거리공간에서 닫힌집합과 폐포, 내부, 경계(Closed set and closure, interior, boundary in the Metric topological space) 이제 거리공간에서 위상적 성질을 대부분 살펴보았으니, 마지막으로 영역에 관한 용어들을 소개하겠습니다. 1. 거리공간에서 영역 1) 근방, 내부, 폐포의 정의 정의($T.P$) 3-10) 거리공간에서 근방거리공간 $(X,d)$ 의 점 $x\in X$ 에 대해 어떤 집합이 $x$ 의 '근방(neighborhood)'일 필요충분조건은 다음 두 조건 중 하나를 만족하는 것이다. 여기서 $r>0$ 은 열린공의 반지름이다.① 열린집합(열린공) $U=B_d(x,r)$ 가 $x$ 의 근방 : $(X,d)$ 위에서의 열린집합 $U=B_d(x,r)$ 가 $x$ 를 포함하고 있는 경우② $A\subseteq X$ 가 $x$ 의 근방 : $U=B_d(x,r)\subseteq A$ 인 열린집합 $U=B_d(x,r)$ 가 $x\.. 2024. 7. 24.
거리공간에서 극한점과 수열의 수렴(Limit point and convergent sequence in the Metric space) 지금 우리는 거리공간의 위상적 성질을 탐구하고 있습니다. 이제 무시무시한 극한점의 개념이 또 등장했는데, 극한점의 개념은 실직선에서 들여다 보았을 때 이해하기 가장 간편하기 때문에 실직선에서의 극한점 개념을 반드시 숙지하고 넘어왔으면 합니다. 사실 거리공간에서의 극한점도 실수에서의 극한점 개념을 약간 확장한 것과 전혀 다름이 없기 때문에 그를 알고 있다면 날먹할 수 있습니다. 거리공간 버전으로 옷만 갈아 입는다, 이렇게 생각해도 문제가 없습니다. 그럼 거의 비슷한데 왜 이런 짓거리를 또 하냐고 물을 수 있겠지요. 거리공간에서는 극한점 자체의 개념이 중요하기보다도, 수열의 수렴과 엮어서 몇가지 뜻깊은 개념을 건설할 수 있다는 것이 저의 답변입니다. 그 개념으로는 '코시수열(Cauchy sequence)'와.. 2024. 7. 23.
칸토어의 축소구간 정리와 실수에서 하이네-보렐 정리(Cantor's nested interval Theorem and Heine-Borel Theorem in Real) 하이네-보렐 정리는 위상수학에서 매우 중요한 정리 중 하나입니다. 가장 유명하면서도 널리 알려져 있으며 상징성이 대단한 정리라고 볼 수 있는데, 커리큘럼상으로는 해석학의 위상 부분에서 먼저 마주하기도 합니다. 하지만 오직 실수에서의 위상적 성질만 다루면서 하이네-보렐 정리를 완벽하게 이해하기는 무척 어렵습니다. 그리하여 실수선에서 먼저 위상적 접근으로 하이네-보렐 정리를 익히고, 이를 확장해서 위상공간에서의 개념 또는 유클리드 공간에서의 개념으로 받아들이는 것이 좋습니다.   해석학에서는 하이네-보렐 정리를 설명할 때 보렐 덮개 보조정리(Borel-covering lemma)를 필요로 하는 경우가 있으나, 우리는 그러한 복잡하고 알 수 없는 미묘한 방법을 선택하기 이전에 실수에서 보다 직관적으로 그러한 .. 2024. 7. 16.
복소수 범위에서 로그함수와 지수표현(Complex logarithms and exponential representation) 이제 로그함수입니다. 실수만을 고려하다 복소수로 수 체계를 확장했을 때, 가장 까다로운 것이 바로 이 로그함수입니다. 아마도, 여러분들은 고등학교 수학에서 로그의 진수(argument)에는 항상 양수만이 들어갈 수 있음을 배웠습니다. 복소수에서는 그 규칙이 깨지며 진수에는 양수와 음수, 그리고 $i$ 를 포함한 식까지 전부 들어갈 수 있습니다. 다만 $0$ 이 들어갈 수는 없습니다. 아무튼 음수의 삽입을 허용하려면 아무래도 몇가지 규칙이 필요하겠지요? 그 때문에 약간 익숙하지 않을 수 있지만 아주 어려운 것은 결코 아니기에 또 한 번 열심히 달려가 봅시다.1. 복소수 범위에서 로그함수 1) 자연상수, 자연로그의 정확한 정의? 우선 몇가지 짚고 넘어갈 것이 있으니 이들을 살펴봅시다. 고등학교 수학에서 $\.. 2024. 7. 13.
시선속도, 후퇴속도 공식을 고등학교 수준에서 증명하기 2015 개정 교육과정의 지구과학I 에서는 시선속도 공식 $V_R=cz=c\cdot \displaystyle\frac{\lambda-\lambda_0}{\lambda_0}$ 을 사용하여 은하나 별의 후퇴속도를 구하게 됩니다. 그런데 이 식은 교과서에서 증명을 보여주지 않고 결과만을 사용하는 방식으로 수능 문제에 등장하곤 합니다.  정확히 말하면 고등학교 지구과학 I 교육과정만 놓고 보면 이 식을 증명하는 것은 불가능합니다. 하지만, 약간의 편법을 사용해서 고등학교 물리학 I 과 물리학 II 의 개념을 가져오면 그럭저럭 증명하는 것이 가능합니다. 사실 이 시선속도 식은 대학교 1학년 때 배우는 일반물리학에서 다루게 되는데, 아마 대부분의 일반물리학 책에서 도플러 효과와 특수상대성이론을 결합하여 증명하는 것.. 2024. 7. 11.
소리의 도플러 효과(Doppler effect of sound) 일반물리학, 그리고 고등학교 과정의 물리학II 를 보면 개념은 어렵지 않은데 공식이 등장해서 반드시 공식을 암기해야 문제를 풀 수 있는 몇몇 단원이 있습니다. 이렇게 개념보다도 결과를 공식화하여 암기를 어느 정도 강요하는 특징이 두드러지는 물리학의 단원으로는 열역학의 맥스웰 분포에서 각종 속력들의 식이 등장하는 부분, 광학에서 거울과 렌즈별로 외워야 하는 상이 맺히는 방법(과 렌즈 제작자의 공식), 전기회로에서 축전기나 전지의 직병렬 연결식, 마지막으로 이 도플러 효과입니다. 도플러 효과는 사실 그리 어려운 개념은 아닙니다. 그리고 이것의 공식 또한, 일반물리학 시험이나 물리학II 수능을 준비하는 경우가 아니라면 그다지 써먹을 일도 없고 도플러 효과의 알짜배기 개념을 이해하는데는 크게 두드러지지 않습니다.. 2024. 7. 11.
거리공간의 위상적 성질(Topological properties on the metric space) 위상수학을 공부할 때 가장 핵심적인 공간을 하나 뽑으라면 저는 거리공간을 택할 것 같습니다. 몇가지 이유가 있지만 가장 원초적인 까닭은 다음과 같습니다. 위상공간 자체는, 이를 선명하게 이미지를 그려 '상상화'하는 것이 원래 무척 어렵고 불가능에 가깝습니다. 그러나 거리공간은 위상공간 다음으로 큰 범주의 공간인데 거리공간부터(놈 공간, 유클리드 공간 등등은) 열린 '공'의 개념으로 열린집합을 이미지화, 구체화하는 것이 가능합니다. 다시말해 직관적인 이해가 가능하려면 벤다이어그램을 그린다든지, 일상에서의 용어 개념과 연결지어 찰떡같고 번쩍이는 그런 상황들이 몇개 떠올라야 하는데, 가장 추상적인 위상공간은 도대체 무엇을 말하는지 떠올리는게 어렵지만 거리공간부터는 가능하다는 뜻입니다. 예를 들어 위상수학을 공.. 2024. 7. 2.
순환군과 위수(Cyclic group and order of group) 군에 여러 종류가 있지만 제가 생각하기에 가장 많이 등장하면서 중요도가 높아 으뜸으로 칠 수 있는 것 바로 순환군입니다. 순환군은 말그대로 무언가가 계속 돌아가면서 반복된다는 뉘앙스를 가지고 있는데 실제 그 특성이 순환군에서 잘 드러나게 됩니다.  그러나 주의점이 있습니다. 순환군은 정수론의 기본 개념들을 알지 못하면 제대로 분석하는 것이 불가능에 가깝습니다. 구체적으로는 정수론에서 합동의 의미, 선형합동식을 푸는 방법, 정수론에서 잉여류(동치류)의 개념, 그들의 연산법을 전부 알아야 합니다. 정수론을 잘 모르더라도 이러한 개념은 각잡고 1주일 정도만 공부하면 해결하는 것이 어렵지 않습니다. 반드시 이 모든 글에 적혀있는 개념을 정독하고 오시는 것을 권합니다. 이제 순환군을 한 번 살펴보겠습니다.  ht.. 2024. 7. 2.
정수론의 합동에서 동치류들의 연산 여태까지 합동에 관한 뼈대가 되는 개념들을 모두 다루었습니다. 이번 글부터는 본격적으로 대수학을 하기 위해 $\mathbb{Z}_n$ 과 $\mathbb{Z}_n^*$ 을 다루는 과정에서 필요한 동치류들의 연산에 대해 정리할 것입니다. 이미 배웠던 내용, 특히 합동의 연산 성질을 바탕으로 약간만 확장하는 것이기 때문에 그리 어렵지 않을 것입니다.  그러나 결론적으로 보면, 합동식 $ax\equiv b \;(\text{mod}\; n)$ 와 같은 식에서 사실 해는 무수히 많아 동치류들로 적는다는 점을 고려할 때, $\mathbb{Z}$ 를 $\mathbb{Z}_n$ 으로 줄여서 생각하더라도 그러한 합동의 개념 본질이 달라지는 것은 아니기 때문에 사실 합동의 연산 관계들은 자연스럽게 동치류에서도 성립할 것임.. 2024. 6. 29.
합동방정식(congruence equation) 이번 주제는 정수론에서 합동에 대한 개념을 바탕으로 합동방정식의 해를 찾는 일입니다. 이 작업은 일차적으로 정수론에서  1차 선형 디오판토스 방정식에 대해 알고 있어야만 이해할 수 있습니다. 하지만 합동방정식을 조금 더 풍부하게 이해하기 위해서는 선형대수학의 방정식 논리를 알고 있는 것이 좋기는 합니다. 일반적인 연립방정식과 다른 점은 합동방정식이 미분방정식에서처럼 해의 개수가 단 하나로 떨어지지 않는다는 점입니다. 이는 동치류가 품고 있는 무수히 많은 원소들이 모두 해가 될 수 있다는 사실에 기반하고 있습니다. 또한 해의 꼴을 보면, 디오판토스 방정식처럼 합동방정식은 선형대수학에서 연립방정식의 해의 논리와 유사한 점이 많습니다. 방정식은 근본적으로 대수적인 관점이 녹아 들어있기 때문입니다.   만일 선.. 2024. 6. 27.
1차 선형 디오판토스 방정식(Linear first-order Diophantine equation) 디오판토스는 고대 그리스의 수학자로, 이집트 알렉산드리아 출신이며 정수론과 방정식을 연구하였다고 알려져 있습니다. 그의 이름을 따 만들어진 디오판토스 방정식은 정수론을 공부하면 꼭 한 번쯤은 들어봤을 것입니다. 디오판토스 방정식은 정수해만을 다루며, 해법이 아주 어렵지 않아 사실 중고등학교 수학 정도만으로도 해를 찾는 것이 가능합니다. 그리고 여러 매체에서 그것의 응용을 재미난 수수께끼로 둔갑시켜 사용되고는 합니다.  라라 크로프트를 주인공으로 하는 시리즈는 제가 매우 좋아하는 게임 중 하나입니다. 제가 어렸을 시절 툼레이더 클래식(1,2,3,4,5(연대기)) 를 즐겨 했었던 기억이 있는데, 당시 너무 어려워서 끝까지 깨지 못했습니다. 툼레이더 시리즈는 고도의 컨트롤 피지컬과 경로 기억성, 귀류법적 사.. 2024. 6. 25.
합동의 연산성질(Operations on congruence in the Number Theory) 합동의 대한 기초 개념을 학습하고 나서는 합동 관계에서 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 하는 방법을 익혀야 합니다. 이 개념은 정수론뿐만 아니라 대수학의 군론을 시작할 때 반드시 필요하므로 이번 글의 중요성을 또 한번 강조해도 지나치지 않습니다. 1. 합동의 기본 연산 1) 덧셈과 곱셈의 기본 연산 정리($N.T$) 3.6) 두 합동식은 연결해서 양변 각각 덧셈과 곱셈이 가능$a\equiv b\;(\text{mod}\; n)$ 이고 $c\equiv d\;(\text{mod}\; n)$ 이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.① $a+c=b+d\;(\text{mod}\; n)$② $ac=bd\;(\text{mod}\; n)$따름정리($N.T$) 3.6.1)$a\equiv b\;(\text{mod}\; n)$ .. 2024. 6. 24.

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