운동량 공간과 위치 공간의 관계 및 플랑셰렐의 정리(Relations between momentum space and coordinate space with Plancherel theorem )

푸리에 변환과 그것의 역변환에 의하면 파동함수는 보통 위치와 시간에 관한 함수로 쓸 수 있지만, 운동량과 에너지에 관한 함수로 적을 수도 있습니다. 

---

1. 디랙 델타 함수

 

우선 디랙 델타 함수^[각주:1]의 기본 정의와, 그로부터 우리가 보여야 할 공식을 소개하겠습니다.

 

 

정의($M.P$)
디랙 델타 함수는 다음을 만족하는 함수 $\delta (x-a)$ 로 정의한다. 사실 이것은 고전적인 의미의 함수가 아니라 분포에 해당하며, 셋은 모두 동치다.
1) 첨탑형
$$\delta (x-t)= \left\{ \begin{array}{cl} &0 &  (x\neq t) \\ & \infty &  (x=t) \end{array} \right.$$ 2) 무한대 적분형
$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-t)dx=1$$ 3) 유한 구간형
$$\int_{a}^{b}\delta(x-t)dx= \left\{ \begin{array}{cl} &1 &  (a < t < b) \\ & 0 &  (\text{otherwise}) \end{array} \right.$$

정의($Q.M$) 3.1) 운동량 공간에서 필요한 디랙 델타 함수
위치와 운동량의 관계에 의한 디랙 델타 함수는 다음과 같이 표현된다.
1) 기본형
$$\delta(x-a)=\frac{1}{2\pi \hbar}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{\displaystyle \frac{ip(x-a)}{\hbar}}dp$$
2) $p=\hbar k$ 의 관계를 이용하면, (여기서 $k=\displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}$ 로 정의되는 각파동수(angular wavelength number))
$$\delta(x-a)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty}^{\infty}e^{ik(x-a)}dp$$ 또한 사실 이 공식은 위치 공간보다도 운동량 공간에서 필요한 것이다.

증명) 파동함수는 $\Psi(x,0)=\Psi(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(p)e^{\displaystyle \frac{ipx}{\hbar}}dp$ 으로 주어진다. 푸리에 역변환에 의하면, 운동량 공간에서의 파동함수 $\phi(p)$ 를 다음과 같이 적을 수 있다.

$$\phi(p)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x)e^{\displaystyle -\frac{ipx}{\hbar}}dx$$
이것을 $\Psi(x)$ 에 관한 식에 대입해주면,

$$\begin{align*} \Psi(x)&=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(p)e^{\displaystyle \frac{ipx}{\hbar}}dp \\\\&= \frac{1}{2\pi \hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\left( \int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x')dx' \right)e^{\displaystyle \frac{ip(x-x')}{\hbar}}dp \end{align*}$$
이때 $x'$ 대신 $a$ 라고만 적어주면, 디랙 델타 함수의 정의에 의하여 $\delta(x-a)=\frac{1}{2\pi \hbar}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\displaystyle \frac{ip(x-a)}{\hbar}}dp$ 를 얻게 된다. 2) 의 식은 단순히 $p=\displaystyle\frac{h}{\lambda}=\displaystyle\frac{2\pi \hbar}{\lambda}=\hbar k$ 를 이용하면 된다. $_\blacksquare$

 

---

2. 플랑셰렐의 정리(파시발의 정리)

 

위치 공간에서 파동함수 $\Psi(x)$ 를 사용할 수 있었던 것처럼, 운동량 공간에서도 파동함수 $\phi(p)$ 를 사용하여 똑같이 슈뢰딩거 방정식을 기술하는 방법이 유효한지를 검증하기 위해 그것이 규격화 조건을 만족시키는지 살펴보아야 합니다. 

 

 

 

계산이 길어서 손으로 적었습니다. 각 과정을 따라 나가게 되면, 결국

 

$$\int_{-\infty}^{\infty}\phi^*(p)\phi(p)dp=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*(x)\Psi(x)dx=1$$

 

를 얻게 됩니다. 이는 만일 위치 공간에서 파동함수 $\Psi(x)$ 가 규격화되어 있으면 운동량 공간에서도 파동함수 $\phi(p)$ 가 규격화 되어있다는 것을 뜻합니다. 따라서 위치 공간 표현이든 운동량 공간 표현이든, 확률밀도가 모두 보존된다는 공통점이 적용되므로, 운동량 공간에서 파동함수를 바탕으로 슈뢰딩거 방정식을 다루더라도 상관은 없습니다. 이것은 $\phi(p)$ 와 $\Psi(x)$ 가 푸리에 변환 쌍에 해당한다는 성질로부터 비롯된 것이고 수학에서 '플랑셰렐의 정리(Plancherel theorem)' 또는 '파시발 정리(Parseval theorem)' 이라고 불립니다. 수학에서의 제대로 된 모습은 아래와 같은데, 그것을 물리학에서 핵심만 가져다가 위치-운동량 관계에 적용한 것입니다.

 

 

정리($A.N$) ?-?) Plancherel theorem, Parseval theorem
임의의 함수 $f\in C(\mathbb{R}-\mathbb{Z}; \mathbb{C})$ 에 대하여 무한급수 $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left| \hat{f}(n) \right|^2$ 는 절대수렴하며 $\left\| f \right\|^2_2=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left| \hat{f}(n) \right|^2$ 이 성립한다.

따름정리($Q.M$) #1) 양자역학에서 Plancherel theorem, Parseval theorem
위치 공간과 운동량 공간에서의 푸리에 변환 쌍에 해당하는 두 함수
$$\Psi(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(p)e^{\displaystyle \frac{ipx}{\hbar}}dp\;\;,\;\;\phi(p)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x)e^{\displaystyle -\frac{ipx}{\hbar}}dx$$ 에 대하여, 파동함수는 어느 한 쪽 공간에서 규격화되어 있으면 다른 한 공간에서도 규격화되어 있다.

 

이러한 위치 공간과 운동량 공간 사이의 관계는 가끔 쌍대공간(dual space)라 부를 때도 있는 것 같은데, 선형대수학에서 말하는 쌍대공간(dual space)를 말하는 것은 아님에 주의하도록 해야 합니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 고전적 의미에서의 함수는 아니다. [본문으로]