자유입자와 운동량 연산자의 고유함수(Free particle and eigenfunction of momentum operator)

1차원 무한 퍼텐셜 우물을 다루었을 때는 위치 공간에서 해밀토니안 연산자에 대한 고유값 방정식을 풀었습니다. 그 결과로 계의 에너지를 얻었지요. 오늘은 이제 위치 공간에서 운동량 연산자를 적용하여 고유함수의 형태가 어떠한지를 알아보려고 하며, 그 결

과로 운동량을 얻게 될 것입니다.

 

$$\hat{p}v(x)=pv(x)$$

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1. 운동량 파동함수 다루기

 

정리($Q.M$) 3.3) 운동량 연산자의 고유함수
운동량 연산자에 관한 고유값 방정식 $\hat{p}v(x)=pv(x)$ 을 (위치 공간에서) 풀게 되면 그 해는
$$\hat{p}v(x)=pv(x)\;\;\Longrightarrow \;\;v(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\cdot e^{\displaystyle \frac{ipx}{\hbar}}$$ 와 같이 주어지며, 이때 발산을 막기 위해 $v(x)$ 를 규격화할 때 디랙 델타 함수
$$\delta(p-p') =\frac{1}{2\pi \hbar}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(p-p')x/\hbar}dp$$ 를 사용한다. 결과적으로 $v(x)$ 는 $L^2$ 공간이나 엄밀한 의미의 힐베르트 공간의 원소가 아니지만, 분포 개념을 사용해 힐베르트 공간의 원소로 취급할 수 있다.

 

 

1) 자유입자는 운동량 공간이 유리한가?

 

교과서들에서 운동량 파동함수를 다루는 부분을 보면, 자유입자(free particle)의 내용이 빠지지 않고 등장합니다. 그 까닭은 퍼텐셜 장벽이 있을 때와 달리 퍼텐셜이 전 공간 $-\infty < x < \infty$ 에서 $V(x)=0$ 으로 주어진 경우에는 운동량 파동함수를 사용하는 것이 유리하기 때문입니다. 왜 그러할까요?

 

해밀토니안 연산자는 

 

$$\hat{\mathcal{H}}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+V(x)$$

 

와 같이 주어진다는 사실을 알고 있습니다. 그런데 이것은 엄밀히 말하면 $\hat{p}=\displaystyle\frac{\hbar}{i}\displaystyle\frac{\partial }{\partial x}$ 과 같이, 운동량 연산자를 위치 $x$ 에 관한 식으로 바꾸는 행위가 내포되어 있음을 알고 있습니다. 이러한 행위를 하는 본질적인 까닭은 퍼텐셜이 $V=V(x)$, 즉 위치에 관한 함수이기 때문입니다. 따라서 해밀토니안 연산자를 고유값 방정식에 넣을 때 파동함수로서 $\Psi(x)$ 를 택하는 것이지요. $V(x)$ 를 $p$ 에 관한 식으로 바꾸는 것이 곤란하기 때문입니다.

 

그러나 자유입자에서는 상황이 다른데,

$$\hat{\mathcal{H}}=\frac{\hat{p}^2}{2m}$$

 

와 같이 뒤쪽에 $x$ 에 의존하는 퍼텐셜 $V(x)$ 가 존재하지 않으므로, 이를 굳이 위치 공간에서 해석하지 말고 운동량 공간에서 해석하는 것이 유리해집니다. 운동량 공간에서는 $\hat{p}=p$ 이므로

 

$$\hat{\mathcal{H}}=\frac{p}{2m}$$

 

가 성립하여, 파동함수를 넣은 고유값 방정식을

 

$$\hat{\mathcal{H}}\Phi(p,t)=\frac{{p}^2}{2m}\Phi (p,t)$$

 

로 해석하면 끝나기 때문입니다. 시간에 관한 함수를 제외하고 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 운동량 파동함수로서 해석하게 된다면, 

 

$$\Phi(p,0)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x)e^{\displaystyle -\frac{ipx}{\hbar}}dx$$

 

가 되고, 해를

 

$$\Phi(p,0)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x)e^{\displaystyle -\frac{ipx}{\hbar}}dx =\sum_{n=1}^{\infty}b_n\phi_n(p)$$

 

와 같이 써버리면 그만입니다. 즉, 자유입자의 경우 퍼텐셜이 $0$ 이고 해밀토니안 연산자에서 $\hat{p}=p$ 처럼 연산자 취급을 하지 않는 경우에는 고유벡터로 $| p\rangle = \phi_n:=v_n$ 을 택할 수 있을 것 같아 보입니다. 그러나, 사실 두 가지 문제가 있습니다.

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2) 위치 공간에서 문제를 해결하는 것이 용이하다.

 

해밀토니안 연산자에서 운동량 연산자를 단순히 $p$ 라고 적을 수 있게 되더라도 여전히 운동량 공간이 불편한 이유가 있습니다. 첫째는, 운동량 연산자에 관한 고유값 방정식 $\hat{p} \phi(p) = p\phi(p)$ 가 자명한 방정식 꼴이라 해법을 찾을 수 없음에 있고, 둘째로 해밀토니안 연산자에 관한 고유값 방정식을 풀면 이점이 있을 수 있지만 결국 위치 공간에서 푼 다음 푸리에 역변환을 써도 똑같이 $\phi(p)$ 를 얻을 수 있다는 사실 때문에 명확한 이점이 있다고 보기 어렵습니다. 뿐만 아니라, 직관적으로, 실제 실험적으로 입자의 위치를 측정하는 것이 운동량을 측정하는 것보다 직관적입니다. 입자가 '어디에 있을까?' 가 입자가 '얼마나 빠를까?' 보다 더 유용하고 궁금할법한 상황이 많다는 것입니다.

 

그렇기에 수학적으로 어느 공간을 선택하는지에 대한 이점은 특별히 없고, 자유입자의 경우 계산이 간단해질 수 있지만, 물리적으로 해석하면 위치 공간을 다루는 것이 운동량 공간을 다루는 것보다 더 적절하다고 할 수 있습니다.

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3) 위치 공간으로 생각할 때 계는 불연속적인데, 운동량은 연속적이다.

문제는 하나 더 있습니다. 1차원 무한 퍼텐셜 우물의 문제를 해결하면 에너지는 $E_n=\displaystyle\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$ 와 같이 나옵니다. 그런데 만일 자유입자를 고려하게 되면, $a\longrightarrow \infty$ 가 되는 셈이기 때문에 에너지는 $E\longrightarrow 0$ 으로 수렴함을 알 수 있지요. 이렇게 되면 위의 에너지 식에서 $a \longrightarrow \infty$ 가 됨에 따라 분자에 있는 $n$ 의 값은, $n=1,2,3,\cdots$ 으로 점점 커지더라도 분모에서는 무한대의 제곱승으로 커지기 때문에 결국 $n$ 값이 변해도 에너지 $E_n$ 의 변화 정도는 뚜렷하지 않아, 에너지의 변화가 연속적인 것으로 간주합니다.

 

 

정리($Q.M$) 3.4) 자유입자의 에너지는 이산적이지 않다.
1차원 무한 퍼텐셜 우물에서 에너지 $E_n=\displaystyle \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$ 의 값은 자유입자의 경우 $a\longrightarrow \infty$ 가 될 때 $n$ 의 값이 점차 커져도, 에너지의 이산적인 분포가 형성되지 못한다. 따라서 자유입자의 에너지는 연속적인 스펙트럼을 갖는다.

 

이렇게 되면 발생하는 문제가 있습니다.

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4) 운동량 연산자에 관한 고유값 : 정규화의 발산 문제

 

1차원 무한 퍼텐셜 우물에서 자유입자로 확장하기 위해 퍼텐셜을 모든 지점에서 $0$ 으로 만든 상황을 고려하고 운동량 연산자에 관해 고유값 방정식을 풀면 어떤 일이 발생하는지 살펴봅시다.^[각주:1] 고유값 방정식은

 

$$\hat{p}v(x) = p v(x)$$

 

에 해당하고 $p$ 는 운동량을 측정하였으니 그 관측값으로 고유값 $p$ 를 얻은 것입니다. $v(x)$ 는 고유벡터, 즉 고유함수에 해당합니다. 해밀토니안 연산자에 대한 고유함수가 $u(x)$ 였는데, 이와 구별하기 위해 $v(x)$ 라 일단 적은 것입니다. 방정식을 풀어보면

 

$$\frac{\hbar}{i}\frac{d }{dx}v(x)=p v(x)\;\;,\;\; \frac{1}{v(x)}dv=\frac{i}{\hbar}p dx$$

 

가 되지요, 방정식의 해는 $v_p(x)= Ce^{ip x/\hbar}$ 를 얻습니다. 그런데 이것을 정규화하면

 

$$\int_{-\infty}^{\infty}\left| v(x) \right|^2dx= \left| C \right|^2\int_{-\infty}^{\infty}dx=\infty$$

 

로 발산해버리기 때문에 일반적인 방법으로는 정규화가 불가능합니다. 그리고 위에서 말한 정리($Q.M$) 3.3) 에 의해 에너지가 연속적이지 않으므로, 여기서 $\displaystyle \int_{\infty}^{\infty}v_p(x)v_{p'}(x) dx=\delta_{pp'}$ 과 같이 크로네커 델타가 답으로 발생하도록 적분을 할 수도 없습니다.^[각주:2] 수학적으로 말하자면, 위치 공간에서 $v(x)$ 는 $L^2$ 공간의 원소에 해당합니다. $L^2$ 공간은 측도론^[각주:3]에서 정의하는데, 제곱 적분 가능하다는 뜻입니다. 하지만 운동량 공간에서 파동함수는 그렇지 않기 때문에, 운동량 고유함수들은 $L^2$ 공간의 원소가 아니고, 따라서 전통적인 의미에서의 힐베르트 공간의 원소도 아닙니다. 

 

 

5) 디랙델타함수를 도입해보면?

 

이 문제를 해결하기 위해서, 델타함수가 진정한 의미의 함수(function)이 아니고 '분포(distribution)'에 해당한다는 사실을 이용한 것처럼 운동량 공간에서도 규격화를 위해 델타함수, 즉 분포를 도입합니다. 이산적인 크로네터 델타의 연속 버전이 바로 디랙델타함수입니다.

 

$$\int_{-\infty}^{\infty}v^*_p(x)v_{p'}(x)dx = \left| C \right|^2 \int_{-\infty}^{\infty}e^{i(p-p')x/\hbar}dx = 2\pi \hbar \left| C \right|^2 \cdot \delta(p-p')$$

 

그러므로 규격화 상수 $C=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$ 를 얻고, 최종적으로 고유값은 푸리에 변환과 그것의 역변환 관계를 만족해야 하므로 운동량 고유함수를 다음과 같이 완성시킬 수 있습니다.

 

$$v(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\cdot e^{\displaystyle \frac{ipx}{\hbar}}$$

 

 

정리($Q.M$) 3.4) 위치와 운동량의 규격화 방식
1) 무한 퍼텐셜 우물에서 파동함수 $\psi_n(x)$ 는 이산적이므로, 계의 에너지도 이산적이다. 따라서 위치 공간에서의 파동함수의 규격화는
$$\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*_n(x)\psi_m(x)dx=\delta_{mn}$$  으로 주어진다.

2) 퍼텐셜 장벽이 없는 자유입자의 경우 에너지는 연속적이게 되고, 운동량 공간에서 파동함수의 규격화는
$$\int_{-\infty}^{\infty}\phi^*_p(x)\phi_{p'}(x)dx=\delta(p-p')$$  으로 주어지게 된다.

정리($Q.M$) 3.5)
1) 운동량 연산자의 고유값 방정식 $\hat{p}v_p(x) = pv_p(x)$ 의 해들의 집합 $\{ v_{p_i}(x)\}_{i=1}^{\infty}$ 은 디랙델타함수로 인해 정규화가 가능하고 정규직교기저가 된다.

2) 따라서 해밀토니안 연산자의 고유값 방정식을 풀었을 때 발생하는 해의 구조가 이산적이고, $\Psi(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x)$ 와 같이 적었지만, 운동량 연산자의 해
$$\hat{p}v(x)=pv(x)\;\;\Longrightarrow \;\;v(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\cdot e^{\displaystyle \frac{ipx}{\hbar}}$$ 를 통해 파동함수를 다시 적으면
$$\Psi(x,0)=\Psi(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(p)e^ {ipx/\hbar} dp=\int_{-\infty}^{\infty} \phi(p) v_p(x) dp$$ 이다.

 

이것은 결국 $\Psi(x,0)$ 이라는 파동함수를 선형결합으로 쓸 때 기저집합으로 $\{ \psi_{n_i}(x)\}_{i=1}^{\infty}$ 뿐만 아니라 $\{ v_{p_i}(x)\}_{i=1}^{\infty}$ 를 택할 수 있음을 의미합니다. 그런데 전자의 경우에는 이산적이고, 크로네커 델타로 규격화를 $L^2$ 공간에서 할 수 있었지만, 후자의 경우 연속적이어서 디랙델타함수로 규격화를 해야 합니다.^[각주:4]

 

 

6) $\phi(p)$ 의 물리적인 해석

 

이제 대부분의 결과를 얻었는데, 마지막으로 할 일은 $\phi(p)$ 의 물리적 의미를 해석하는 것입니다. 이산 버전에서 $c_n$ 과 $\left | c_n \right|$ 의 의미를 찾은 것과 비슷한 작업이니, 결과도 유사할 것임을 예측할 수 있습니다.

 

$$\Psi(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(p)e^ {ipx/\hbar} dp=\int_{-\infty}^{\infty} \phi(p) v_p(x) dp$$

 

이 식에서 시작합니다. 양변에 $v^*_{p'}(x)$ 를 곱한 뒤 $x$ 에 대해 적분하면,

 

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}v^*_{p'}(x)\Psi(x)dx &= \frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\left( \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ip'x/\hbar}\phi(p)dp \right)e^{ipx/\hbar}dx \\\\&=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\left( \int_{-\infty}^{\infty}e^{i(p-p')x/\hbar}dx \right)\phi(p)dp \\\\&=\int_{-\infty}^{\infty}\phi(p)\delta(p-p')dp \\\\&=\phi(p') \end{align*}$$

 

그러므로 $p'\longrightarrow p$ 로 바꾸어 간단히 정리하면,

 

$$\phi(p) = \int_{-\infty}^{\infty}v^*_p(x)\Psi(x,0)dx$$

 

라는 것입니다. 따라서 다음을 얻습니다.

 

 

정리($Q.M$) 3.6) $\phi(p)$, $\left| \phi(p) \right|^2$ 의 해석
① $\phi(p) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}u^*_p(x)\Psi(x,0)dx$ 는 파동함수 $\Psi(x)$ 가 운동량을 측정했을 때, 즉 운동량 연산자 고유값 방정식을 풀었을 때 고유값 $p$ 를 가질 '확률밀도진폭(Probability density amplitude)'에 해당한다.

② $\left| \phi(p) \right|^2$ 는 파동함수 $\Psi(x)$ 가 운동량을 측정했을 때, 즉 운동량 연산자 고유값 방정식을 풀었을 때 고유값 $p$ 를 가질 '확률밀도(Probability density)'에 해당한다.

 

아래 표를 통해, 해밀토니안 연산자에 관한 고유값 방정식을 풀었을 때와 한눈에 비교하여 볼 수 있습니다.

 

 

 

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2. 제곱 적분 불가능하다는 문제는 어찌 해결할 것인가?

 

그렇지만 꺼림칙한 것이 하나 남았습니다. 위에서 풀어재낀 운동량 연산자의 고유값 방정식

 

$$\hat{p}v(x) = pv(x)$$

 

는 자유입자에 관한 것입니다. 만일 자유입자에 대해 단순히 $\psi(x)$ 를 고유함수로 하여금 1차원 슈뢰딩거 방정식을 풀면 어떻게 될까요? 그것은 슈뢰딩거 방정식

 

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d ^2\psi}{d x^2}=E\psi$$

 

를 의미하고, 이것을 해결하면

 

$$\frac{d ^2\psi}{d x^2}=-k^2\psi\;\;\Longrightarrow \;\; k=\pm\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$$  

 

가 등장합니다. 1차원 무한 퍼텐셜 상자의 해와 비교하면, 첨자(index) $n$ 의 값이 발생하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 그래서 우리가 위에서 풀었던 자유입자의 운동량 연산자 고유값 방정식에서도 에너지가 연속적으로 발생했던 것입니다. 다시 말해 1차원 무한 퍼텐셜 상자에서는 $k_n=\displaystyle\frac{\sqrt{2mE_n}}{\hbar}\;\;\;(n=1,2,3,\cdots)$ 으로 $k$ 값이 $k_n$ 로 발생했지만 자유입자의 경우 $k$ 값이 단 하나입니다. 무언가 이상한 결과를 얻게 된다는 느낌이 들어야 합니다.

 

만일 이상한 느낌이 없이 일단 이 해도 모순적이지 않다고 생각하더라도, 어차피 정규화를 해버리면 발산하는 결과를 얻게 됩니다. 슈뢰딩거 방정식의 해는 $\Psi(x,t)=Ae^{i\displaystyle \left( kx-\frac{\hbar^2k^2}{2m}t \right)}$ 와 같이 평면파로 얻어지게 되지요. 그러나 평면파는 정규화가 불가능합니다. 정규화를 한다면,

 

$$\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*(x,t)\Psi(x,t)dx = \left| A \right|^2 \infty=\infty$$

 

으로 발산합니다.

 

여기까지의 결과를 정리하면 이렇습니다. 운동량 연산자에 관한 고유값 방정식을 자유입자에 대해 풀게 되면 $E$ 가 연속적으로 발생하고, 이때 고유함수의 발산은 디랙 델타 함수 $\delta(p-p')$ 를 사용해서 어찌저찌 막았지만, 자유입자에 관한 1차원 슈뢰딩거 방정식을 해밀토니안 연산자에 대해서 풀게 되면 똑같이 규격화의 발산 문제가 등장하고 이것도 해결을 해야 한다는 것입니다. 그래야 고유값 방정식을 운동량 연산자에 대해 푼 위의 작업도 의미가 있는 것이니까요. 결과적으로, 자유입자의 경우 변수분리한 해는 물리적으로 실현 불가능한 상태로 보이지요. 그렇다면 막연히 자유입자 따위는 없다! 라고 해석해야 할까요? 양자역학에서는 이 문제에 대해 다음과 같은 세 가지 타협안을 내놓습니다.

 

 

 

1) 완전하고 이상적인 자유입자는 존재하기 어렵다.

 

자유입자는 간단히 말해 1차원 무한 퍼텐셜 우물에서 양쪽의 퍼텐셜 장벽이 양쪽 끝, 즉 $-\infty$ 와 $\infty$ 로 어마무시하게 밀려난 상황으로 해석할 수 있습니다. 하지만 현실적으로 이러한 입자가 존재는 다소 이상적이라는 것입니다. 어디선가는 퍼텐셜을 장벽을 만날 것이기 때문에, 진짜 수학적인 무한에 장벽이 놓여 있다고 가정하는 것 자체가 현실 세계의 특성을 위배한다는 것이지요. 따라서, 실제로 무한히 퍼진 자유공간을 고려하는 대신, 길이가 어마무시하게 큰 $L$ 인 상자 안에 입자가 갇혀 있다고 가정합니다. 그 상자의 장벽 바깥에서는 파동함수가 $\Psi(x,t)=0$ 이 되거나, 주기적 경계조건(Periodic boundary condition)을 만족한다고 말합니다 :

 

$$\int_{0\neq -\infty}^{L\neq\infty}\Psi^*(x,t)\Psi(x,t)dx = 1$$

 

쉽게 말해, 1차원 무한 퍼텐셜 상자에서 장벽 하나는 $0$ 에 있고, 나머지 하나의 장벽의 위치가 $a$ 였는데, $a$ 값이 엄청나게 커지지만 정말 수학적으로 '무한'에 해당하는 수준으로 커지지는 못한다는 것이지요. 이렇게 만들면 자유입자에 굉장히 가까운 상태로 해석할 수 있고, 세상에 진짜 자유입자는 없다는 믿음을 바탕으로 정규화 문제를 해결하는 것입니다.

 

 

 

2) 애초에 자유입자 평면파에서 확률밀도를 묻는 것이 부적절하다.

 

자유입자에서는 $k$ 값이 이산적으로 떨어지지 못하기 때문에 해가 평면파 $\Psi(x,t)=Ae^{i\displaystyle \left( kx-\frac{\hbar^2k^2}{2m}t \right)}$ 로 나타납니다. 그러나, 평면파라는 것은 애초에 한 방향으로 계속 흘러가기만 하는 파동함수로 고전역학에서의 물결파와 같은 일반적인 파동과 완전히 동일한 개념으로 바라볼 수 있습니다.

 

그러나 양자역학에서는 파속을 도입하는 이유에서 지적하였듯이, 물질이 파동성을 가진다고 해서 고전역학처럼 100% 파동으로만 해석하는 것은 적절하지 않습니다. 그 물질이 이중적으로 입자의 속성도 분명 가지고 있기 때문입니다. 그러므로 자유입자를 논할 때 코펜하겐 해석을 들먹이는 것이 부적절하다는 것이지요. 무슨 말이냐면, 코펜하겐 해석에 의하면 $\left| \Psi(x,t) \right|^2$ 을 확률밀도로 바라보므로 정규화 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\left| \Psi(x,t) \right|^2dx = 1$ 를 하는 것의 의미는 입자를 $x=-\infty \sim \infty$ 에서 무조건 발견할 수 있다고 믿는 것과 동치입니다. 

 

그러나, 평면파는 100% 파동적 속성만 가지는 개념이기에 입자의 성질을 대변할 수 없게 되고, 따라서 자유입자에서 얻은 평면파는 양자역학의 공리와 합치되지 않는다는 뜻입니다. 따라서 정규화 $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\left| \Psi(x,t) \right|^2dx = 1$ 가 가능하다는 것은 자유입자의 상황에서는 평면파를 규격화하는 것이므로 $x=-\infty \sim \infty$ 에서 파동을 발견할 수 있다는 모순적인 결과가 발생하는 것이므로, 더이상 $\left| \Psi(x,t) \right|^2$ 를 확률밀도 자체로 해석하는 것이 불가능하다고 답변해야 한다는 것입니다.

 

그래서 이 경우에는 확률밀도흐름(Probability current density)를 생각하는 것이 바람직하다고 주장합니다.

 

$$j(x,t):=\frac{i\hbar}{2m}\left(  \Psi^*(x,t)\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial x}-\Psi(x,t)\frac{\partial \Psi^*(x,t)}{\partial x} \right)$$

 

 

자유입자 평면파는 한 방향으로 계속 흘러가는 파동함수, 즉 고전역학에서의 파동과 완전히 일치하는 형상이기에, 어느 한 곳에 머문다는 개념 자체가 성립할 수 없으니, '흐름적'으로 해석해야 한다는 것이지요. 이렇게 된다면, 이것의 해석은 입자가 전 공간에 퍼져 있다고 볼 것이 아니라, 단순히 입자들이 일정한 유량을 갖는 채로 한 방향으로 이동하는 것처럼 보면 충분합니다. 평면파는 끊임없이 한 방향으로만 나아가기에 자유입자의 경우 어느 한 곳에 머문다고 해석하려는 시도 자체가 불가능하며 흐르는 입자빔(beam)처럼 이해해야 한다는 것입니다. 

 

 

그럼에도 불구하고 가장 핵심적으로 받아들여지는 해석은 아래의 것입니다. 사실 이것은 우리가 이미 했던 방식이고, 2)에서 유추할 수 있었을 것입니다.

 

 

 

3) 불확정성의 원리를 위배 : $k$ 값이 단 하나라는 것이 미시세계에서 통하지 않는다.

 

자유입자에 관한 해밀토니안 연산자 고유값 방정식을 풀면, 그 해는 위에서 언급한 것처럼

 

$$k=\pm\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$$

 

으로 발생합니다. 그런데 이것은 $k$ 값이 단 한개로 정해진다는 뜻을 가집니다. 그러나, 우리는 양자의 파동성과 입자성을 모두 대변하기 위해 분명히 파속의 개념을 도입하여 그 문제를 해결했었습니다.

 

 

정의($Q.M$) 1-2) 파속(Wave packet)
'파속(Wave packet)'은 수많은 파수들을 갖는 평면파들의 중첩 결과로 국소적인 영역에서만 파형이 큰 값을 가지고, 그를 제외한 지점에서는 거의 영에 가까운 값을 갖는, 파장이 조금씩 다른 여러 파동들의 집합체에 해당하며 식으로는 
$$\Psi(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}g(k)e^{i\left\{ kx-\omega(k)t \right\}}dk$$ 와 같이 주어진다. 여기서 
$$E=\hbar\omega\;\;,\;\; p=\hbar k$$ 관계를 이용하면, 파동함수를
$$\Psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int\phi(p)e^{\frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}dp$$ 와 같이 기술할 수 있다.

 

파속의 개념은 양자의 이중성에 관한 해결책이었을 뿐만 아니라 불확정성 원리를 충족시킵니다. 그런데 자유입자를 풀면 $k$ 값이 단 하나이므로, $p=\hbar k$ 값도 단 하나가 되는 것이고, 그것은 운동량의 불확도 $\Delta p=0$ 을 의미하지요. 따라서 현실세계에는 엄밀한 의미에서 실제로 이상적인 자유입자가 양자역학적으로 존재할 수 없음을 뜻합니다. 위치의 불확정도가 $\Delta x=\infty$ 가 되고 $\Delta p =0$ 인 상황에서는 $\Delta x \Delta p = 0 \ngeq \displaystyle\frac{\hbar}{2}$ 가 되어버리기 때문입니다. 불확정성 원리를 위배하는 상황은 양자역학과 부합하지 않기 때문이죠.

 

궁극적으로 볼 때, 1)과 3)이 추구하는 바인 이상적인 자유입자는 없다는 논지가 적절하고, 그 이유를 설명하는 과정의 관점에서는 3)이 가장 적절합니다. 물론, 2)와 같이 해석하는 것도 잘못된 것은 아니지만, 2)라는 것은 만일 자유입자의 존재를 어떻게해서든 인정한다면 그와 같이 해석해야 한다는 관점에 가깝지요. 우리는 파속을 통해 슈뢰딩거 방정식을 완성하였고 양자의 이중성 및 시간 변화성을 기술하여 양자역학을 건설했기 때문에, 3)을 가장 적절한 논증으로 선택해야 하며, 대부분의 교과서에서도 자유입자를 기술할 때 3)의 관점을 따릅니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 지금은 다시 운동량 공간에서 파동함수를 다루는 것이 아니고, 위치 공간입니다. [본문으로]
2. $v_p(x), v_{p'}(x)$ 는 운동량이 각각 $p,p'$ 일 때의 파동함수에 해당하는 것이며, 이것은 별개의 상태에 해당하지만 이들의 에너지 준위가 연속적이기 때문에 크로네커 델타로 처리할 수 없다는 뜻입니다. 즉 1차원 무한 퍼텐셜 우물에서 $\psi_n(x), \psi_m(x)$ 로 인해 발생하는 에너지 준위들은 '끊어져 이산적으로' 놓여 있지만, 운동량의 에너지 준위들은 '촘촘히 연속적으로' 분포해 있다는 뜻입니다. [본문으로]
3. 이 역시 물리학과에서 학습하지 않으며, 수학과 학부나 대학원에서 다룹니다. [본문으로]
4. 그러므로 $v_p(x)$ 들은 $L^2$ 공간의 원소가 아니고, 이는 제곱 적분 가능하지 않다는 것을 뜻합니다. 분포 개념을 가져와서 억지로 비스무레하게 정규화를 한 것입니다. 그래서 수학적으로는 이것을 일반화된 정규화 상태라고 부르기도 합니다. [본문으로]