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양자역학(Quantum Physics)/배경, 기초13

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식(Time-independent Schrodinger equation) 파속의 개념, 슈뢰딩거 방정식의 유도를 마쳤으니 이제 슈뢰딩거 방정식을 풀어봅시다. 1. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식 1차원 슈뢰딩거 방정식을 보면 시간에 관한 편미분이 존재하므로 기본적으로 슈뢰딩거 방정식은 시간에 무관하지 않습니다. 즉 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식입니다. $$i\hbar\,\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\Psi(x,t) \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\mathrm{(1-dim\;Scr\ddot{o}dinger \; eqaution)}$$ 문제가 되는 것은 퍼텐셜입니다. 슈뢰딩거 방정식은 퍼텐셜의 종류에 따라 정확한 해.. 2023. 2. 5.

양자역학에서 기댓값(Expectation value in Quantum mechanics) 양자역학에서는 기댓값이 굉장히 중요합니다. 확률론에서 기댓값은 보편적으로 평균값을 뜻합니다. 평균정도의 값은 기대를 할 수 있다, 이런 식으로 보면 됩니다. 양자역학에서는 고전역학에서와 달리 '측정'의 의미가 달라 고전역학에서처럼 물체의 위치와 운동량을 정확히 동시에 측정하고 미래의 운동을 예측할 수가 없기 때문에, 확률을 도입한 것이고, 그러므로 확률에 관한 기댓값을 도구로 삼습니다. 이를 바탕으로 '측정'에 대한 의미를 이해하는데 한 걸음 더 다가갈 수 있게 됩니다. 1. 기댓값 1) 정의 연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f(x)$ 에 대하여, 기댓값은 $$E(x)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$$ 기댓값의 식을 무작정 외우시는 분들이 있는데, 양자역학을 학습하려면 기초.. 2022. 7. 20.

확률흐름밀도(Probability current density) 파동함수를 규격화할 때 고려할만한 물리량이 있습니다. 확률흐름밀도와 연속방정식에 관한 것입니다. 1. 확률밀도흐름 1) 규격화 상수는 시간에 의존하는가? 파동함수를 규격화할 때, 예를 들어 파동함수가 $\Psi(x,t)=Ae^{i\theta}$ 와 같은 형태라고 하면, 규격화를 하였을 때 $$\int_{-\infty}^{\infty}\left| \Psi(x,t) \right|^2dx=A^2\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\left( \theta_1-\theta_1 \right)}dx=A^2=1 $$ 와 같은 식을 얻습니다. 연습문제를 많이 풀어보시면 결국 $A^2$ 의 값이 어떤 숫자가 된다는 형태로 규격화 상수가 발생하게 됩니다. 그런데 우리는 규격화된 파동함수가 시간에 독립임을 보였습.. 2022. 7. 20.

파동함수의 규격화(Normalization of wave function) 파동함수를 확률적으로 해석하였기 때문에 파동함수에는 규격화를 해야 한다는 조건이 붙습니다. 선형대수학에서는 보통 정규화(Normalization)이라고 합니다. 한국어로는 정규화나 규격화나 같은 뜻입니다. 이에 대해 알아봅시다. 1. 규격화 규칙(Normalizaion) 1) 규칙 $\left| \Psi(x,t) \right|^2$ 은 시간 $t$ 에서 위치 $x$ 에서 입자를 찾을 확률밀도(probability density)라 해석하였기 때문에, 확률밀도를 전체 구간에서 적분하면 1이 되어야 합니다. 이 개념은 고등학교 수학에서 연속확률변수의 확률밀도함수를 전구간 적분했을 때 확률이 1이 된다는 논리와 정확히 일치합니다. 현 고등학교 교과 과정의 에서는 연속확률변수를 간단히 배우지만, 주어진 그래프의.. 2022. 7. 17.

파동함수의 확률적 해석(Born interpretation) 파속의 시간에 따른 변화를 설명하면서, 파속 자체로는 입자의 운동을 기술할 수 없음을 역설하였었습니다. 그러면서 파동함수를 도입하기는 하였는데, 물리적으로 파동함수가 의미하는 것이 무엇인지에 대한 논의를 뒤로 미루었었지요. 양자역학이 탄생할때 최고의 과학자들 또한 솔베이 회의에서 모였지만 이에 대한 명확한 해석을 하는데 골머리를 앓았습니다. 그 중 가장 설득력이 있어 의견을 모은 것이 막스 보른(Max Born)에 의해 주장된 것으로 파동함수를 확률적인 관점에서 해석하는 것입니다. 이러한 관점은 양자역학의 '코펜하겐 해석(Copenhagen interpretation)'에 내포되어 있는 개념입니다. 코펜하겐 해석에서는 파동함수에 대해 다음과 같이 해석합니다. $\left| \Psi(x,t)\right|^.. 2022. 7. 11.

1차원 슈뢰딩거 방정식 유도(1-dim Schrödinger equation) 파동함수의 식을 유도했으니, 이제 그 파동함수가 만족하는 미분방정식을 찾을 것이고 그것이 바로 슈뢰딩거 방정식입니다. 1. 1차원 슈뢰딩거 방정식 1) 정의 1차원 슈뢰딩거 방정식은 $$i\hbar\,\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\Psi(x,t) \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\mathrm{(1-dim\;Scr\ddot{o}dinger \; eqaution)}$$ 으로 주어진다. 이 때 파동함수는 다음과 같다. $$\Psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int\phi(p)e^{\displaystyle \frac.. 2022. 7. 11.

파속에서 유도되는 파동함수(Wave function origin from the wake packet) 이번 글에서는 양자역학의 간판 방정식인 슈뢰딩거 방정식의 주인공인 파동함수를 만들어 내는 과정을 소개할 것입니다. 그 과정에서 파속의 개념이 필요하고, 확률적 해석을 위한 확률 기초 개념도 수반됩니다. 왜 파속을 도입하는지에 대해서는 이전 글에서 설명을 마쳤습니다. 또한 파동을 다루는 수학적 도구의 으뜸이라 할 수 있는 푸리에 변환에 대한 지식도 장착하여야 함을 미리 고지합니다. 1. 파속에서 파동함수로 1) 파속의 정의 파속(Wave packet)은 수많은 파수들을 갖는 평면파들의 중첩 결과로 국소적인 영역에서만 파형이 큰 값을 가지고, 그를 제외한 지점에서는 거의 영에 가까운 값을 갖는, 파장이 조금씩 다른 여러 파동들의 집합체에 해당하며 식으로는 $$f(x,t)=\int_{-\infty}^{\inf.. 2022. 7. 10.

전자의 간섭 무늬 실험과 파속의 도입(Electron interference experiment, and introduction of wave packet) 리처드 파인만은 양자역학에 대해 알아야 할 모든 것이 전자의 간섭 무늬 실험에 포함되어 있다고 말하였습니다. 미시세계에선 어떤 물체도 입자성과 파동성을 갖는, 물질의 이중성(duality)이 나타난다는 것을 의미합니다. 흑체복사가 지핀 양자역학의 불씨는 광전효과를 타고, 빛의 입자성이 증명되면서 루이 드 브로의 호기심을 자극하게 됩니다. 드브로이는 빛이 이중성을 갖는다면 물질도 이중성을 갖지 않겠냐는 신박한 아이디어를 제공합니다. 이것이 '물질파(Matter wave)'의 개념입니다. 혹자는 드브로이가 숟가락 하나 얹힌 것 아니냐고 비꼬는 언급을 하는 경우도 있는데, 역발상이라는 것 역시 창의성에서 비롯되는 것이며 창의성은 수많은 지식과 노력 속에서 꽃피울 수 있는 잠재적 가치이기 때문에 그 아이디어를 .. 2022. 7. 10.

플랑크 법칙과 플랑크 곡선(Planck's law, Planck's curve) 이제 드디어 플랑크 법칙을 다룰 차례입니다. 빈의 변위 법칙과 레일리-진스 법칙에서 발생하는 모든 문제를 해결한 장본인이 막스 플랑크입니다. 3. 플랑크의 법칙 1) 우연한 아이디어 플랑크는 자외선 파탄을 해결하기 위해서 흑체의 복사에너지가 연속적이지 않고, $E=nhf$ 으로 불연속적이라는 가정을 꺼내 놓습니다. $n$은 자연수입니다. 곧, 특정 진동수의 양의 정수배만큼의 에너지만을 가질 수 있다는 것으로, 이를 에너지가 '양자화(quantamization)'되었다고 말합니다. 사실, 레일리-진스 법칙에서 사용한 에너지 등분배 법칙은 에너지가 연속적일때만 사용할 수 있는 공식입니다. 그러나 양자역학은 결과를 보면 알겠지만 에너지가 불연속적으로 양자화되어있기 때문에, 결코 등분배 법칙을 마음대로 사용할 .. 2022. 7. 10.

레일리-진스 법칙과 자외선 파탄(Rayleigh-Jean's law of radiation and Ultraviolet catastrophe) 흑체복사에서 발견되는 문제점이 존재하는 두 번째 타자입니다. 이전 글에서 빈의 변위 법칙은 짧은 파장에서 잘 들어맞지만, 긴 파장에서 잘 들어맞지 않는다는 문제점이 있음을 지적하였습니다. 레일리-진스 법칙은 거꾸로 긴 파장에서 잘 들어맞지만, 짧은 파장에서 문제가 생긴다는 특징이 존재합니다. 그리고 레일리-진스 법칙은 빈의 변위 법칙 증명보단 어렵습니다. 자유도에 대한 내용이 나오는데, 이는 네이버 블로그에서 설명한 적이 있으니 그를 따라가시길 바랍니다. (아직 티스토리로 이전 못했습니다) 2. 레일리-진스 법칙 에너지 등분배 법칙에 의하면, 온도 $T$ 에서 열적 평형을 이루고 있을 때 계의 에너지는 각 자유도(degree of freedom)당 $\displaystyle \frac{1}{2}k_BT$.. 2022. 7. 6.

빈의 변위 법칙과 증명(Wien displacement law) 흑체복사에서 발견된 문제점을 설명할 차례인데, 처음 타자는 빈의 변위 법칙입니다. 1. 빈의 변위 법칙 1) 유도 빈의 변위 법칙은 고등학교 과학에서도 나오고 파장에 대한 물리적 해석을 할 때 어느 정도 상식적으로 알고 있는 경우가 있는데, 양자역학에서 유도를 한 번 해봅시다. 참고로 이 유도 과정은 Gasiorowicz 교과서 첫 장 연습문제 1번에 수록되어 있습니다. [그림 2]와 같이 틈의 폭이 $dA$ 이고 그 틈 안에 각도 $\theta$ 만큼 회전된 곳에, 미소 부피 $dV$ (또는 $d\tau$ 라고 적음)가 있으며 틈에서 그곳까지의 거리를 $r$이라고 해봅시다. 흑체는 이 틈 안쪽 영역에 해당하며 그 중에서 미소 부피에 해당하는 부분에 대해서 계산을 하려고 합니다. 우리가 구하고자 하는 것.. 2022. 7. 6.

흑체복사(Black body radiation) 이전 글인 양자역학의 도입부를 설명하는 글에서 양자역학이라는 학문의 등장에 관한 이론적 배경을 살펴보았습니다. 양자역학은 흑체복사 곡선에 대한 기존 학자들의 설명이 현실과 괴리가 있다는 사실에서 시작됩니다. 이번 시간에는 수학적으로 그 괴리와 이를 해결한 플랑크의 생각을 소개하기 시작할 것이며, 복잡한 계산들이 등장하게 될 것입니다. 이 글부터 시작하여 앞으로 양자역학 카테고리에 실릴 글들은 학부 3학년 수준의 양자역학이기 때문에 많은 이과학생들이 공통적으로 배우는 일반물리학의 내용을 뛰어넘습니다. 물론, 훌륭한 일반물리학 교과서를 보면 양자역학 부분에서 결론들 위주로라도 멋지게 서술해둔 것들이 있으나, 그 설명들은 수학적 테크닉을 거의 동원하지 않습니다. 하지만 학부 전공 과목으로서 양자역학을 이제부터.. 2022. 7. 6.

양자역학의 시작 : 양자역학 등장 배경에 관한 설명 이제 양자역학에 대한 이야기를 시작해 봅시다. 이 글을 읽고 계시는 분들은 어떻게해서라도 양자역학이라는 말을 들어본 적이 있을 것입니다. 대략적인 양자역학의 개요나 의미에 대해서는 일반물리학에서도 설명을 하고 있기 때문에, 자연계 학생이라면 한번 쯤 어떻게 해서든지 접해본 적이 있습니다. 양자역학은 이제 우리가 사용하는 일상의 물건, 기술 등에 무수히 많이 적용되어 있습니다. 이러한 말도 지겹게 들었을 수도 있습니다. 그렇지만 어떻게 그것이 적용된 것인지, 의미하는 바는 무엇인지에 대해서는 조금만 깊게 들어가도 전문적 지식을 갖추지 않았다면 설명하기가 난해해질 것입니다. 이 블로그는 진심으로 수학이라는 도구를 통해서 양자역학을 공부하고자 하는 독자들을 대상으로 글을 쓰고 있기 때문에, 앞으로 진행할 양자.. 2022. 4. 25.

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