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양자역학(Quantum Physics)/배경, 기초

1차원 슈뢰딩거 방정식 유도(1-dim Schrödinger equation)

by Gosamy 2022. 7. 11.
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파동함수의 식을 유도했으니, 이제 그 파동함수가 만족하는 미분방정식을 찾을 것이고 그것이 바로 슈뢰딩거 방정식입니다.

 

 


1. 1차원 슈뢰딩거 방정식

 

1) 정의

 

정의(Q.MQ.M) 1-3) 1st-dimension Schrodinger equation
1차원 슈뢰딩거 방정식은
iΨ(x,t)t=22m2Ψ(x,t)x2+V(x)Ψ(x,t)(1dimScr¨odingereqaution)iΨ(x,t)t=22m2Ψ(x,t)x2+V(x)Ψ(x,t)(1dimScr¨odingereqaution) 으로 주어진다. 이때 파동함수는 다음과 같다.
Ψ(x,t)=12πϕ(p)ei(pxEt)dpΨ(x,t)=12πϕ(p)ei(pxEt)dp

 

흔히 고전역학에서 뉴턴의 제 2법칙인 F=maF=ma 에 대응되는 양자역학에서의 방정식이 이 슈뢰딩거 방정식이라고들 말합니다. 그런데 양자역학을 공부할 때 교과서에 따라서 슈뢰딩거 방정식을 정확히 유도하지 않는 경우가 있고, 그러면 마치 이 슈뢰딩거 방정식을 공리라고 착각할 수 있는데 전혀 사실이 아닙니다. 뉴턴의 운동방정식 또한 공리가 아닙니다. 힘이라는 물리량을 최초로 정의한 그는 실험을 통해 질량을 고정시켰을 때 힘을 세게 줄수록 가속도가 커졌고, 힘을 똑같이 주었을 때 질량이 작을수록 가속도가 크다는 경험적 실험 결과를 토대로 힘이라는 물리량을 정의한 것이고 비례량을 등식으로 바꾸기 위해 자신의 이름을 딴 단위 NN 을 도입한 것이죠. 슈뢰딩거 방정식도 당연히 만족하는 자연계의 이치나 공리가 아니라, 파속의 개념으로부터 도입된 파동함수가 만족하는 미분방정식을 찾은 것에 해당합니다.

 

그러므로 왜 이 미분방정식, 그러니까 박스 안의 슈뢰딩거 방정식이 파동함수의 해가 되는지를 짚고 넘어가야 합니다. 그렇게 어려운 과정은 아니니 살펴봅시다.

 

 

2) 파동함수는 슈뢰딩거 방정식(미분방정식)을 만족하는 해이다.

 

슈뢰딩거 방정식에서 우리가 알고 있는 파동함수 식

 

Ψ(x,t)=12πϕ(p)ei(pxEt)dpΨ(x,t)=12πϕ(p)ei(pxEt)dp

 

을 대입했을 때 좌변과 우변이 같음을 보이면 됩니다. 좌변부터 보면,

 

iΨ(x,t)t=i{12πdpϕ(p)tei(pxEt)}=12π{(i)(i)dpϕ(p)Eei(pxEt)}=12πdpϕ(p)(p22m)ei(pxEt)+12πdpϕ(p)V(x)ei(pxEt)(1)

 

이 되지요. 이제 우변을 보면 파동함수를 위치에 대해 두 번 미분합니다.

 

2Ψ(x,t)x2=(i22)12πdpϕ(p)p2ei(pxEt)

 

22m2Ψ(x,t)x2+V(x)Ψ(x,t)=12πdpϕ(p)(p22m)ei(pxEt)+12πdpϕ(p)V(x)ei(pxEt)(2)

 

간단하게 (1)=(2) 이기 때문에, 슈뢰딩거 방정식이 완성됨을 알 수 있습니다. 즉 우리가 유도한 파동함수 식은 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 해입니다.

 

 

 

3) 슈뢰딩거 방정식을 유도한 것인가?

 

하지만 무언가의 부족함이 있다고 느껴질 수 있는데, 이것은 슈뢰딩거 방정식을 엄밀히 유도했다기보다는 완성된 슈뢰딩거 방정식의 좌변과 우변이 같다는 것을 확인하여 슈뢰딩거 방정식이 적절하다는 것을 점검한 것에 불과하기 때문입니다. 실제로 슈뢰딩거 방정식을 바닥부터 쌓아 올리기 위해서는 두 가지 개념이 사용됩니다. 첫번째는 고전역학에서 파동방정식

 

2y(x,t)x2=1v22y(x,t)t2

 

입니다. 전자의 파동성을 기술하기 위해 파동의 성질로 말미암아 파동함수를 만들었다면, 파동방정식을 만족해야 한다는 아이디어입니다. 나머지 하나는 드브로이의 물질파

 

λ=hp

 

에 해당합니다. 고전역학에서 파동의 파장은 플랑크 상수와 관련이 없지만, 미시세계에서 양자는 플랑크 상수와 운동량으로 파동을 결정할 수 있다는 개념이지요. 이 둘을 조화롭게 섞으면, 슈뢰딩거 방정식을 얻을 수 있습니다. 우선 복잡성을 제거하기 위해 자유입자(free particle)을 대상으로, 파동함수를 간단히 코사인과 사인함수의 선형결합으로 놓습니다.[각주:1] 이렇게 할 수 있는 근거가 고전역학에서 위의 파동방정식을 풀면 해가 코사인과 사인의 선형결합으로 나온다는 사실에 해당하는 것입니다.

 

Ψ(x,t)=Acos(kxωt)+Bsin(kxωt)(1)

 

여기서 파수(wave number) k 와 각진동수 w 를 유심히 살펴봅시다. k=2πλ 로 정의되는데, 이때 파장값에는 고전역학과 달리 드 브로이의 물질파 식을 넣어야 합니다. 이로부터

 

p=k

 

의 식을 먼저 얻습니다. 또한 각진동수의 경우 그 정의는 ω=2πf 인데, 진동수의 경우 고전역학에서와 달리 미시세계에서는 에너지를 결정하는 플랑크의 양자 가설 E=hf 를 따라야 합니다. 결과적으로 볼 때 우리는

 

E=hf=h2π2πf=ωp=hλ=h2π2πλ=k

 

를 얻게 됩니다. 자유입자의 경우, 에너지는 E=p22m 을 만족하므로, 위 두 식을 연결하게 되면 에너지는

 

E=ω=2k22m(2)

 

을 만족해야 합니다.

 

 

그렇다면 우리의 파동함수는 파동방정식을 만족시키면서도, 동시에 위의 물질파와 양자 가설 또한 충족시켜야 하는 임무를 가집니다. 일단, 위의 (1) 을 만족시킬 수 있도록 우리의 파동함수를 몇 번 조작해 보려고 합니다. 파동함수를 두 번 미분해보면 상수로서 k2 이 발생하게 되는데 이것을 이용하면

 

22m2Ψ(x,t)x2=22m[k2Acos(kxωt)k2Bsin(kxωt)]=2k22m[Acos(kxωt)+Bsin(kxωt)]=2k22mΨ(x,t)

 

의 관계가 성립합니다. 정리하면

 

22m2Ψ(x,t)x2=CΨ(x,t)t

 

를 얻는데, 여기 포함된 C 는 나중에 A,B 를 하나로 연결하기 위해 임시로 붙인 상수입니다. 이제 여기다 (1) 을 대입하고 지저분한 계산을 마치면, A=C2A 에서 C=i 를 얻고 B=CA=Ai 를 얻습니다. 그리하여 최종적으로 얻는 방정식은

 

22m2Ψ(x,t)x2=iΨ(x,t)t(3)

 

이것이 바로 자유입자에 관한 1차원 슈뢰딩거 방정식의 유도입니다. 마지막으로, 파동함수를 기술할 때는 오일러 공식

 

eiθ=cosθ+isinθeiθ=cos(θ)+isin(θ)=cosθisinθ

 

을 사용해서 보다 간결하게

 

Ψ(x,t)=Aei(kxωt)=Aeikxeiωt

 

와 같이 적는 것이 선호됩니다.

 

 

 

4) 퍼텐셜을 넣어 완성시킨다.

 

자유입자가 아닌 경우 우리는 단순히 좌변에 V(x)Ψ(x,t) 를 추가시켜 슈뢰딩거 방정식을 완성합니다.

 

22m2Ψ(x,t)x2+V(x)Ψ(x,t)=iΨ(x,t)t(4)

 

엄밀하게 말하자면, 이때 따져야 할 것은 당연히 도대체 왜 퍼텐셜 항에 해당하는 V(x)Ψ(x,t) 가 우변에 추가되지 않고, 우변의 t 와 무관하게 추가되며, 좌변의 Ψ(x,t) 의 이계도함수 항에 추가되지 않는 것에 관한 것입니다. 이 까닭은 그것이 고전역학에서 역학적 에너지

 

E=K+U

 

와 매끄럽게 이어질 수 있게 함입니다. 즉, 미시세계에서 양자의 에너지를 따질 때도 양자는 움직일 수 있으니 운동에너지를 가질 것이고, 자체로 퍼텐셜 에너지를 가지고 있을 것이니, 분명 운동에너지와 퍼텐셜에너지가 존재하고 거기에 더해 그 두 에너지의 합을 총 에너지로 기술할 수 있을 것이라는 사고에서 비롯되었다고 볼 수 있습니다. 그러니, 퍼텐셜 에너지 항이 저렇게 더해지는 이유를 먼저 설명하기보다 일단 저 식 (4) 가 맞다고 가정을 한 뒤에 그것이 고전역학에서 역학적 에너지의 해석과 매끄럽게 이어질 수 있다는 것을 보이려고 합니다. 자유입자의 파동함수를 Ψ(x,t)=Aei(kxωt)=Aeikxeiωt 와 같이 기술한 다음 자유입자의 슈뢰딩거 방정식 (3) 에 대입해줍니다.

 

22m2Ψ(x,t)x2=22m2x2(Aeikxeiωt)=22m(ik)2(Aeikxeiωt)=2k22mΨ(x,t)iΨ(x,t)t=it(Aeikxeiωt)=i(iω)(Aeikxeiωt)=ωΨ(x,t)

 

이렇게 되면 좌변에서 (2k2/2m)Ψ(x,t)=(p2/2m)Ψ(x,t)=KΨ 를 얻을 수 있고, 우변에서 iΨ(x,t)t=ωΨ=EΨ 를 얻습니다. 따라서, 우변과 좌변을 비교하면 자유입자(퍼텐셜이 0인 상태)에서는 E=K 가 되는 셈이므로, 만일 퍼텐셜을 추가하고 싶으면 결과식이 E=K+V 가 나오게 하기 위해서 V(x) 를 자유입자의 슈뢰딩거 방정식 (3) 에 넣을 때 (4) 와 같이 넣어야 적절하다는 참된 결론을 얻습니다. 이렇게 증명을 마칠 수 있습니다.

 

 

 

파동함수가 선형이기 때문에, 슈뢰딩거 방정식도 선형 미분방정식입니다. 선형인 미분방정식은 푸는 방법이 비선형에 비해서는 잘 알려져 있으며, 앞으로 퍼텐셜 V(x) 자리에 어떤 대상이 들어가느냐에 따라 여러가지 슈뢰딩거 방정식이 등장하고, 그것을 풀어 해를 구하는 과정을 겪게 될 것입니다. 사실 정확한 해를 완성시킬 수 있는 퍼텐셜의 종류가 흔하지는 않습니다. 그래도 그것들을 바탕으로 확장하여 복잡한 문제들을 해결하거나 고차원의 모델에서 해를 예상해볼 수 있기 때문에 다음 시간부터 등장할 여러 종류의 퍼텐셜에 관한 슈뢰딩거 방정식을 푸는 작업을 튼튼히 단련해 두어야 합니다.

 

 

 

[참고문헌]

Quantum physics, Stephen Gasiorowicz, 3e

 

 

 

  1. 여기서 복소 지수 함수로 시작하면 안될 이유가 있지는 않습니다. 하지만 그렇게 하지 않는 까닭은, 고전역학에서 파동방정식을 기술할 때 으레 사인이나 코사인을 사용하기 때문입니다. 고전적으로 파동을 기술할 때, 복소수가 필요 없었기 때문이죠. [본문으로]

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