1차원 슈뢰딩거 방정식 유도(1-dim Schrödinger equation)

파동함수의 식을 유도했으니, 이제 그 파동함수가 만족하는 미분방정식을 찾을 것이고 그것이 바로 슈뢰딩거 방정식입니다.

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1. 1차원 슈뢰딩거 방정식

 

1) 정의

 

1차원 슈뢰딩거 방정식은

$$i\hbar\,\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\Psi(x,t) \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\mathrm{(1-dim\;Scr\ddot{o}dinger \; eqaution)}$$
으로 주어진다. 이 때 파동함수는 다음과 같다.
$$\Psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int\phi(p)e^{\displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}dp$$

 

흔히 고전역학에서 뉴턴의 제 2법칙인 $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ 에 대응되는 양자역학에서의 방정식이 이 슈뢰딩거 방정식이라고들 말합니다. 그런데 양자역학을 공부할 때 교과서에 따라서 슈뢰딩거 방정식을 정확히 유도하지 않는 경우가 있고, 그러면 마치 이 슈뢰딩거 방정식을 공리라고 착각할 수 있는데 전혀 사실이 아닙니다. 뉴턴의 운동방정식 또한 공리가 아닙니다. 힘이라는 물리량을 최초로 정의한 그는 실험을 통해 질량을 고정시켰을 때 힘을 세게 줄수록 가속도가 커졌고, 힘을 똑같이 주었을 때 질량이 작을수록 가속도가 크다는 경험적 실험 결과를 토대로 힘이라는 물리량을 정의한 것이고 비례량을 등식으로 바꾸기 위해 자신의 이름을 딴 단위 $\mathrm{N}$ 을 도입한 것이죠. 슈뢰딩거 방정식도 당연히 만족하는 자연계의 이치나 공리가 아니라, 파속의 개념으로부터 도입된 파동함수가 만족하는 미분방정식을 찾은 것에 해당합니다.

 

그러므로 왜 이 미분방정식, 그러니까 박스 안의 슈뢰딩거 방정식이 파동함수의 해가 되는지를 짚고 넘어가야 합니다. 그렇게 어려운 과정은 아니니 살펴봅시다.

 

 

2) 파동함수는 슈뢰딩거 방정식(미분방정식)을 만족하는 해이다.

 

슈뢰딩거 방정식에서 우리가 알고 있는 파동함수 식

 

$$\Psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int\phi(p)e^{\displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}dp$$

 

을 대입했을 때 좌변과 우변이 같음을 보이면 됩니다. 좌변부터 보면,

 

$$\begin{align*}
i\hbar\,\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}&=i\hbar \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int dp\,\phi(p)\frac{\partial }{\partial t}e^{ \displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)} \right\}\\\\&=
\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\left\{ (i\hbar)\left( \frac{-i}{\hbar} \right) \int dp\,\phi(p)\cdot E
e^{ \displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)} \right\}\\\\&=
\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int dp\,\phi(p)\left( \frac{p^2}{2m} \right) e^{ \displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}+\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int dp\,\phi(p)V(x)e^{ \displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)} \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(1)
\end{align*}$$

 

이 되지요. 이제 우변을 보면 파동함수를 위치에 대해 두 번 미분합니다.

 

$$\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}=\left( \frac{i^2}{\hbar^2} \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}
\int dp\,\phi(p)\cdot p^2e^{ \displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}$$

 

$$\begin{align*}
\Rightarrow &\;\;\;-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\Psi(x,t)
\\\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int dp\,\phi(p)\left( \frac{p^2}{2m} \right) e^{ \displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}+\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int dp\,\phi(p)V(x)e^{ \displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(2)
\end{align*}$$

 

간단하게 $(1)=(2)$ 이기 때문에, 슈뢰딩거 방정식이 완성됨을 알 수 있습니다. 즉 우리가 유도한 파동함수 식은 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 해입니다. 파동함수가 선형이기 때문에, 슈뢰딩거 방정식도 선형 미분방정식입니다. 선형인 미분방정식은 푸는 방법이 비선형에 비해서는 잘 알려져 있으며, 앞으로 퍼텐셜 $V(x)$ 자리에 어떤 대상이 들어가느냐에 따라 여러가지 슈뢰딩거 방정식이 등장하고, 그것을 풀어 해를 구하는 과정을 겪게 될 것입니다. 사실 정확한 해를 완성시킬 수 있는 퍼텐셜의 종류가 흔하지는 않습니다. 그래도 그것들을 바탕으로 확장하여 복잡한 문제들을 해결하거나 고차원의 모델에서 해를 예상해볼 수 있기 때문에 다음 시간부터 등장할 여러 종류의 퍼텐셜에 관한 슈뢰딩거 방정식을 푸는 작업을 튼튼히 단련해 두어야 합니다.

 

 

 

[참고문헌]

Quantum physics, Stephen Gasiorowicz, 3e