확률흐름밀도(Probability current density)

파동함수를 규격화할 때 고려할만한 물리량이 있습니다. 확률흐름밀도와 연속방정식에 관한 것입니다.

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1. 확률밀도흐름

 

1) 규격화 상수는 시간에 의존하는가?

 

파동함수를 규격화할 때, 예를 들어 파동함수가 $\Psi(x,t)=Ae^{i\theta}$ 와 같은 형태라고 하면,^[각주:1] 규격화를 하였을 때

 

$$\int_{-\infty}^{\infty}\left| \Psi(x,t) \right|^2dx=A^2\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\left( \theta_1-\theta_1 \right)}dx=A^2=1 $$

 

와 같은 식을 얻습니다. 연습문제를 많이 풀어보시면 결국 $A^2$ 의 값이 어떤 숫자가 된다는 형태로 규격화 상수가 발생하게 됩니다.

 

그런데 우리는 규격화된 파동함수가 시간에 독립임을 보였습니다. 그런데 간과한 것이 하나 있다면, 규격화 상수로 붇는 $A$는 시간에 의존하지 않는다고 확신할 수 있을까요? 물론 상수이기 때문에 단순한 숫자가 아니냐고 물을 수도 있지만, 확률흐름밀도라는 재미있는 물리량을 정의해서 규격화 상수가 시간에 독립임을 보일 수 있습니다. 슈뢰딩거 방정식으로부터,

 

$$\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial ^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{i}{\hbar}V\Psi\;\;\;,\;\;\;
\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=-\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial ^2\Psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar}V\Psi^*$$

$$\begin{align*}
\frac{\partial }{\partial t}\left| \Psi \right|^2&=\left( -\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial ^2\Psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar}V\Psi^* \right)\Psi+\Psi^*\left( \frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial ^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{i}{\hbar}V\Psi \right)\\\\&=\frac{i\hbar}{2m}\left( \Psi^*\frac{\partial ^2\Psi}{\partial x^2}-
\Psi\frac{\partial ^2\Psi}{\partial x^2} \right) \\\\&=
\frac{\partial }{\partial x}\left\{ \frac{i\hbar}{2m}\left( 
\Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^*}{\partial x} \right) \right\}
\end{align*}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$

 

여기까지의 과정은 규격화를 할 때 모두 마쳤습니다. 이 식의 마지막 항에서, 다음을 정의합니다.

 

'확률흐름밀도(Probability current density)'는 다음과 같이 정의한다.
$$j(x,t):=\frac{i\hbar}{2m}\left( 
\Psi^*(x,t)\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial x}-\Psi(x,t)\frac{\partial \Psi^*(x,t)}{\partial x} \right) $$ 이 때 확률흐름밀도에 대하여 3차원에서
$$\frac{\partial \left| \Psi(x,t) \right|^2 }{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{j}=0$$ 의 방정식이 성립한다. 이는 전자기학의 연속방정식(Continuity equation)과 형태가 같다. 

 

확률밀도흐름에 관한 식은 $(1)$ 의 좌변과 우변을 비교하면 자연스럽게 확인할 수 있습니다. 다만, $(1)$은 1차원의 상황을 고려하고 있어서 

 

$$\frac{\partial \left| \Psi(x,t) \right|^2 }{\partial t}+\frac{\partial j(x,t)}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial t}+\frac{\partial j}{\partial x}=0$$

 

이 됩니다. 여기서 $P$는 확률이므로 파동함수의 제곱에 해당합니다. 이를 3차원으로 바꾸면 두번째 항에서 $j$를 $\mathbf{j}$ 로 바꾸고 미분은 미분연산자인 델로 바꾸어주면 간단히 해결됩니다.

 

 

2) 해석

 

파동함수가 시간에 대해 변하지 않고, 연속방정식에 의하여 전체 확률이 시간에 독립이므로 파동함수에 포함된 규격화 상수 $A$ 또한 시간에 의존하지 않음을 알 수 있습니다. 물리적으로 볼 때 시간이 변하면서 파의 모양이나 파속이 변할 수는 있지만, 그 파동함수의 제곱을 적분한 값 즉 파동함수의 제곱이라는 확률밀도함수와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 파동의 모양이 변화해도 시간에 무관하게 항상 같음을 뜻합니다.

 

 

 

[참고문헌]

Introduction to Quantum mechanics, David Griffiths, 3e
Quantum physics, Stephen Gasiorowicz, 3e

 

 

 

1. 모든 경우에 이렇게 생겼다고 할 수는 없지만, 지수함수인 형태가 상당히 많기 때문에 이러한 상황에 대해서 예시를 들어도 큰 문제가 없다고 생각하였습니다. [본문으로]