파동함수의 규격화(Normalization of wave function)

파동함수를 확률적으로 해석하였기 때문에 파동함수에는 규격화를 해야 한다는 조건이 붙습니다. 선형대수학에서는 보통 정규화(Normalization)이라고 합니다. 한국어로는 정규화나 규격화나 같은 뜻입니다. 이에 대해 알아봅시다.

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1. 규격화 규칙(Normalizaion)

 

1) 규칙

 

$\left| \Psi(x,t) \right|^2$ 은 시간 $t$ 에서 위치 $x$ 에서 입자를 찾을 확률밀도(probability density)라 해석하였기 때문에, 확률밀도를 전체 구간에서 적분하면 1이 되어야 합니다. 이 개념은 고등학교 수학에서 연속확률변수의 확률밀도함수를 전구간 적분했을 때 확률이 1이 된다는 논리와 정확히 일치합니다.

 

[그림 1] 2015년 수능특강 <적분과 통계> 중

현 고등학교 교과 과정의 <확률과 통계>에서는 연속확률변수를 간단히 배우지만, 주어진 그래프의 면적이 해당 구간에서의 확률을 의미한다는 개념 정도는 알 것이라고 믿습니다. 확률의 총합이 1이니 전 면적을 적분하면 값이 1이 되어야 한다는 것입니다. 

 

파동함수의 '규격화(Normalization)'이란 확률밀도함수의 제곱을 전 구간에 대하여 적분하였을 때 반드시 1이 되어야 한다는 것을 의미한다. 
$$\int_{-\infty}^{\infty}\left| \Psi(x,t) \right|^2dx=1$$ 모든 파동함수는 이 조건을 만족시켜야 하며, 이러한 적분 작업을 하는 것을 '파동함수를 규격화한다'고 말한다. 이는 입자가 주어진 전체 영역 내에서 발견될 확률이 1임을 뜻한다. 입자가 영역 안의 어디에 있는지 특정할 수는 없어도 일단 존재하기는 해야 한다는 뜻이다.

 

 

2) 규격화의 시간 독립성

 

그런데 파속은 시간에 따라 뭉개짐을 알고 있습니다. 그렇다면 입자를 발견할 확률도 시간에 따라 달라지는 것은 아닐지 의문이 들 수 있습니다. 그래서 이 규격화 식이 시간에 대해 어떻게 의존하는지를 점검해보려고 합니다.

 

$$\frac{d }{dt}\int_{-\infty}^{\infty}\left| \Psi(x,t) \right|^2dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial }{\partial t}\left| \Psi(x,t) \right|^2dx\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$

 

이 때 integrand 는,

 

$$\frac{\partial }{\partial t}\left| \Psi \right|^2=\frac{\partial }{\partial t}\left( \Psi^*\Psi \right)
=\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}\Psi+\Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial t}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(2)$$

 

가 되죠. 근데 왜 파동함수의 절댓값 제곱이 파동함수와 파동함수의 켤레(conjugate)의 곱일까요? 이것은 전형적인 복소수의 특징으로 복소수의 크기의 정의에서 비롯되는 것입니다. 그리고 나서 슈뢰딩거 방정식을 살펴보면

 

$$\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial ^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{i}{\hbar}V\Psi\;\;\;,\;\;\;
\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=-\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial ^2\Psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar}V\Psi^*$$

$$\begin{align*}
\frac{\partial }{\partial t}\left| \Psi \right|^2&=\left( -\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial ^2\Psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar}V\Psi^* \right)\Psi+\Psi^*\left( \frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial ^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{i}{\hbar}V\Psi \right)\\\\&=\frac{i\hbar}{2m}\left( \Psi^*\frac{\partial ^2\Psi}{\partial x^2}-
\Psi\frac{\partial ^2\Psi}{\partial x^2} \right) \\\\&=
\frac{\partial }{\partial x}\left\{ \frac{i\hbar}{2m}\left( 
\Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^*}{\partial x} \right) \right\}
\end{align*}$$

 

이것을 바탕으로 식 $(1)$ 을 다시 쓰게 되면,

 

$$\begin{align*}
\frac{d }{dt}\int_{-\infty}^{\infty}\left| \Psi(x,t) \right|^2dx&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial }{\partial t}\left| \Psi(x,t) \right|^2dx\\\\&=
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial }{\partial x}\left\{ \frac{i\hbar}{2m}\left( 
\Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^*}{\partial x} \right) \right\}\,dx\\\\&=
\frac{i\hbar}{2m}\left[ \Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^*}{\partial x} \right]_{-\infty}^{\infty}\\\\&=0
\end{align*}$$

 

왜 영이 되냐면, $\Psi(x,t)$ 와 $\Psi^*(x,t)$ 가 $x\rightarrow \infty$ 일 때 0으로 가야 하기 때문입니다. 연속확률변수 그래프의 기초입니다. 결국 양 끝의 무한대로 가면 함숫값은 0으로 수렴하지요. 그러므로, 우리는 아래의 결론을 얻습니다.

 

규격화된 파동함수는 시간에 의존하지 않는다.
$$\frac{d }{dt}\int_{-\infty}^{\infty}\left| \Psi(x,t) \right|^2dx=0$$ 다시 말해 파동함수 $\Psi(x,t)$ 가 시간 $t=0$ 에서 규격화되면, 시간에 관계없이 미래에도 여전히 규격화되어 있음을 의미한다.

 

 

 

[참고문헌]

Introduction to Quantum mechanics, David Griffiths, 3e