파속에서 유도되는 파동함수(Wave function origin from the wake packet)

이번 글에서는 양자역학의 간판 방정식인 슈뢰딩거 방정식의 주인공인 파동함수를 만들어 내는 과정을 소개할 것입니다. 그 과정에서 파속의 개념이 필요하고, 확률적 해석을 위한 확률 기초 개념도 수반됩니다. 왜 파속을 도입하는지에 대해서는 이전 글에서 설명을 마쳤습니다.

 

또한 파동을 다루는 수학적 도구의 으뜸이라 할 수 있는 푸리에 변환에 대한 지식도 장착하여야 함을 미리 고지합니다.

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1. 파속에서 파동함수로

 

1) 파속의 정의

 

파속(Wave packet)은 수많은 파수들을 갖는 평면파들의 중첩 결과로 국소적인 영역에서만 파형이 큰 값을 가지고, 그를 제외한 지점에서는 거의 영에 가까운 값을 갖는, 파장이 조금씩 다른 여러 파동들의 집합체에 해당하며 식으로는 
$$f(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}g(k)e^{i\left\{ kx-\omega(k)t \right\}}dk$$ 와 같이 주어진다. 여기서 
$$E=\hbar\omega\;\;,\;\; p=\hbar k$$ 관계를 이용하면, 파동함수를
$$\Psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int\phi(p)e^{\frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}dp$$ 와 같이 기술할 수 있다.

 

복잡하지요? 하나씩 분석해 봅시다.

 

[그림 1] 파속의 대략적인 모양

 

i) 우선 파속이 왜 저런 형태를 가지고 있는지 살펴봅시다.

 

간단하게 1차원 파동함수만을 고려하기 위해 당분간은 $\Psi(x,t)$ 을 사용할 것입니다. 즉 위치 자리에 3차원 $\mathbf{r}$ 벡터가 들어가는 것이 아니라 $x$ 하나만 넣습니다. 그러면 $\Psi(x,t)$ 는 $y,z$ 에는 의존하지 않으므로 $yz$ 평면의 어느 지점에서도 같은 값을 지니게 됩니다. 그리하여 3차원에서 이 식을 보면 '평면파(Plane wave)'가 됩니다. 그런데 일반적인 파동은 사인파나 코사인파를 이용해서 쓰면 되는데 왜 지수함수로 써져있느냐 하면은, 지수함수로 평면파를 나타내는 것이 복소수 범위에서 일반적인 평면파의 표기법이기 때문입니다.^[각주:1] $e^{i\left\{ kx-\omega(k)t \right\}}$ 는 평면파를 뜻합니다. 사인함수와 코사인함수는 복소수 영역에서 직교기저가 되어 수많은 파동들을 사인과 코사인의 선형결합으로 나타낼 수 있지요.^[각주:2] 그러니 평면파를 달고 그것의 선형결합을 하기 위해 모든 가능한 $k$값에 대하여 적당히 앞에 계수 함수 $g(k)$ 를 단 다음, 연속적인 파동의 중첩을 나타내기 위해서 $dk$ 에 대하여 전 구간에서 적분한 식이 파속을 나타내는 식이 된 것입니다.

 

빡빡하고, 답답할 수 있습니다. 우선은 100% 이해하지 못했다고 할지라도, 여러번 시도한 다음 대략적인 느낌을 가지고 앞으로 쭉 나아가는 것이 좋습니다.

 

ii) 두번째 관계식 중 에너지에 관한 첫번째 식은 다음과 같이 유도합니다.

 

$$E=hf=\frac{h}{2\pi}\times2\pi f=\hbar \omega$$

 

$h$에 짝대기 넣은 문자는 '에이지 바(bar)'라고 읽고 플랑크 상수를 $2\pi$로 나눈 값으로 정의합니다. 운동량에 관한 두번째 식은 iii)에서 유도할 것입니다.

 

 

2) 시간에 따른 파속의 진화

 

파속이 시간에 따라 어떻게 진행하는지를 생각해봅시다. 그러기 위해서는 '각진동수(angular moment)'와 '파수(Wave number)' 간의 관계를 알아야 합니다.

 

$$\omega=\omega(k)\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\mathrm{(Dispersion\;relation)}$$

 

이 관계는 고전역학에서도 종종 등장합니다. 예를 들어 전자기파에 대해서는 $\omega=ck$ 와 같이 선형의 관계가 나타납니다. 반면 물질파에서는 아래서 보겠지만 $\omega \propto  k^2$ 의 제곱(quadratic) 관계가 성립해서 선형은 아닙니다. 그러므로 시간에 따라 펄스의 모양이 변하게 됩니다. 그 계산을 하려고 합니다.

 

$\omega(k)$ 에 대하여 $k=k_0$ 를 기준으로 테일러 전개를 해봅시다. $k_0$ 는 파속의 중심입니다.

 

 

여기서 $p\equiv  k-k_0$ 이고, $b\equiv\left[ \displaystyle \frac{d^2\omega}{dk^2} \right]_{k_0}\;\;,\;\;v_g=\left[ \displaystyle \frac{d\omega}{dk} \right]_{k_0}$ 으로 치환하였습니다. 각주에 달았자만 보아하니 치환할 때 $p$를 쓰지 말고 다른 문자를 사용하는 것이 좋습니다. $v_g$ 는 '군속도(group velocity)'라고 하여 파속이 시간에 따라 움직이는 속도를 뜻합니다.^[각주:3]

 

Dispersion relation 이 전자기파이면, $b=0$ 이 됩니다. $\omega=ck$ 즉 $k$에 관한 1차식이기 때문입니다. 하지만 물질파라면 각진동수가 $k^2$ 에 비례하므로  $b\neq 0$ 이 되어 조금 더 복잡한 계산이 필요합니다.

 

$$e^{-i\omega(k)t}=e^{ -i\omega t}\simeq e^{-\displaystyle i\omega(k_0)t-ipv_gt-ib\left(\frac{p^2}{2} \right)t}$$

 

대입하면,

 

$$f(x,t)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}\,e^ {i\left( k_0x-\omega(k_0)t \right)}\left\{ \int_{-\infty}^{\infty}dp\,\phi (p+{k_0}) \right\}\cdot e^{ip\left( x-v_gt \right)}\cdot e^{ip^2\left( \frac{b}{2} \right)t}$$

 

그런데 이걸 한번 더 제곱하려고 합니다. 마음 같아서는 다 적고 싶지만 식이 너무 복잡해서 결과만을 쓰겠습니다.

 

$$\left| f(x,t) \right|^2=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2t^2}}\,e^{-\displaystyle \frac{a(x-v_gt)^2}{a^2+b^2t^2} }$$

 

[그림 2] 시간에 따라 변화하는 파속의 모양

 

$a,b$ 는 상수이고 $v_g$는 군속도입니다. 식을 잘 보면, $b=\neq 0$ 이기 때문에 시간 $t$가 증가함에 따라서 진폭항은 0에 가까워지고 지수함수 부분을 보면 폭(width)이 계속 커짐을 뜻합니다. 한 파속이 시간이 지나면서 진폭은 작아지고 양옆으로 계속 퍼진다면 쉽게 말해 파속이 망가진다는 것과 다름이 없습니다. 입자의 위치를 파속으로 대체하여 해석해보려는 시도는 처참히 붕괴된다는 뜻입니다. 시간이 지나면 파속이 헝클어지지만 그렇다고 전자가 사라지거나 으깨지는 것은 아니기 때문이죠. 그렇기 때문에 파속 자체만으로는 전자의 운동을 기술하는데 한계가 있어서 파동함수 및 파동함수가 만족하는 미분방정식을 통해 양자역학을 완성해야 합니다.

 

 

3) 파동함수의 유도

 

이제 파속에서 파동함수를 이끌어 내 봅시다. 여기서는 일단 입자가 자유입자(free particle)이라 가정하여 퍼텐셜에너지가 $V=U=0$ 인 상황을 고려하겠습니다.

 

$$\begin{align*}
v_g&=\frac{d \omega}{dk}=\frac{d }{dk}(2\pi f)=\frac{d }{dk}\left( \frac{hf}{\hbar} \right)\\\\&
=\frac{d }{dk}\left( \frac{E}{\hbar} \right)=\frac{1}{\hbar}\frac{d }{dk}\left( \frac{p^2}{2m} \right)
\\\\&= \frac{1}{\hbar}\frac{d p}{dk}\frac{d}{dp}\left( \frac{p^2}{2m} \right) \\\\&=
\frac{p}{m} \;\;\;(\because\;\;p=v_gm)
\end{align*}$$

$$\therefore \;\;p=\hbar k$$

 

박스의 두번째 운동량에 관한 관계식을 얻었습니다. 그 다음으로 할 것은 평면파를 물질파에 관한 식으로 바꾸는 일입니다. 이건 쉽게 말해 $k,\omega$ 를 $p, E$에 관한 식으로 바꾸겠다는 것입니다. 그 때는

 

$$p=\frac{h}{\lambda}=\frac{2\pi\hbar}{\lambda}=\hbar k$$

$$E=hf=\frac{h}{2\pi}\cdot 2\pi f=\hbar \omega$$

 

를 이용하면 됩니다. 최종적으로 정리한 파동함수 식은 다음과 같습니다.^[각주:4]

 

$$\Psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int\phi(p)e^{\displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}dp$$

 

 

 

[참고문헌]

Quantum physics, Stephen Gasiorowicz, 3e

 

 

 

1. 조금 더 자세한 내용은 Griffiths 전자기학 원서 p.387 을 참고하세요. [본문으로]
2. 선형 대수에 관한 기초 지식과 푸리에 해석에 대한 학습이 되어 있지 않으면 결코 이해할 수 없습니다. 애초에 수학 없이 양자역학을 할 수가 없습니다. [본문으로]
3. 여기서 치환 문자 $p$는 운동량이 아니고 그냥 적당한 문자입니다. 괜히 헷갈리게 제가 $p$를 쓰긴 했지만 혼동하지만 않으면 됩니다. [본문으로]
4. 여기서 $p$는 운동량으로, 시간에 따른 파속을 볼 때 치환했던 $p=k-k_0$ 와는 다른 것입니다. 거기서는 그냥 치환용 문자일 뿐이지요. [본문으로]