파속에서 유도되는 파동함수(Wave function origin from the wake packet)

이번 글에서는 양자역학의 간판 방정식인 슈뢰딩거 방정식의 주인공인 파동함수를 만들어 내는 과정을 소개할 것입니다. 그 과정에서 파속의 개념이 필요하고, 확률적 해석을 위한 확률 기초 개념도 수반됩니다. 왜 파속을 도입하는지에 대해서는 이전 글에서 설명을 마쳤는데, 간단히 말해 양자는 입자성과 파동성이라는 이중성을 보유한 대상이기 때문에, 완전히 입자만으로도, 완전히 파동만으로도 기술하는 것이 불가능하기 때문입니다. 결과적으로 과학자들은 파동성을 살리기 위해 지수함수, 삼각함수 등을 사용하고자 하지만, 그렇다고 입자성을 버릴 수 없기 때문에 파속(wave packet)을 도입해 이중성을 살리는 방안을 마련하게 되었습니다. 따라서 이 글에서는 파동을 다루는, 그중에서도 여러 주파수를 가진 파형을 합하는 방식에 필요한 수학적 도구의 으뜸이라 할 수 있는 푸리에 변환에 대한 지식도 장착하여야 함을 미리 고지합니다.

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1. 파속에서 파동함수로

 

1) 파속의 정의

 

이것은 저번 글에서 이미 설명한 바 있습니다.

 

정의($Q.M$) 1-2) 파속(Wave packet)
파속(Wave packet)은 수많은 파수들을 갖는 평면파들의 중첩 결과로 국소적인 영역에서만 파형이 큰 값을 가지고, 그를 제외한 지점에서는 거의 영에 가까운 값을 갖는, 파장이 조금씩 다른 여러 파동들의 집합체에 해당하며 식으로는 
$$f(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}g(k)e^{i\left\{ kx-\omega(k)t \right\}}dk$$ 와 같이 주어진다. 여기서 
$$E=\hbar\omega\;\;,\;\; p=\hbar k$$ 관계를 이용하면, 파동함수를
$$\Psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int\phi(p)e^{\frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}dp$$ 와 같이 기술할 수 있다.

 

 

[그림 1] 파속의 대략적인 모양

 

 

 

5) 시간에 따른 파속의 진화

 

파속이 시간에 따라 어떻게 진행하는지를 생각해봅시다. 그러기 위해서는 '각진동수(angular moment)'와 '파수(Wave number)' 간의 관계를 알아야 합니다.

 

$$\omega=\omega(k)\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\mathrm{(Dispersion\;relation)}$$

 

이 관계는 고전역학에서도 종종 등장합니다. 예를 들어 전자기파에 대해서는 $\omega=ck$ 와 같이 선형의 관계가 나타납니다. 반면 물질파에서는 아래서 보겠지만 $\omega \propto  k^2$ 의 제곱(quadratic) 관계가 성립해서 선형은 아닙니다. 그러므로 시간에 따라 펄스의 모양이 변하게 됩니다. 그 계산을 하려고 합니다.

 

$\omega(k)$ 에 대하여 $k=k_0$ 를 기준으로 테일러 전개를 해봅시다. $k_0$ 는 파속의 중심입니다.

 

 

여기서 $p\equiv  k-k_0$ 이고, $b\equiv\left[ \displaystyle \frac{d^2\omega}{dk^2} \right]_{k_0}\;\;,\;\;v_g=\left[ \displaystyle \frac{d\omega}{dk} \right]_{k_0}$ 으로 치환하였습니다. 각주에 달았자만 보아하니 치환할 때 $p$를 쓰지 말고 다른 문자를 사용하는 것이 좋습니다. $v_g$ 는 '군속도(group velocity)'라고 하여 파속이 시간에 따라 움직이는 속도를 뜻합니다.^[각주:1]

 

Dispersion relation 이 전자기파이면, $b=0$ 이 됩니다. $\omega=ck$ 즉 $k$에 관한 1차식이기 때문입니다. 하지만 물질파라면 각진동수가 $k^2$ 에 비례하므로  $b\neq 0$ 이 되어 조금 더 복잡한 계산이 필요합니다.

 

$$e^{-i\omega(k)t}=e^{ -i\omega t}\simeq e^{-\displaystyle i\omega(k_0)t-ipv_gt-ib\left(\frac{p^2}{2} \right)t}$$

 

대입하면,

 

$$f(x,t)=\frac{1}{\sqrt {2\pi}}\,e^ {i\left( k_0x-\omega(k_0)t \right)}\left\{ \int_{-\infty}^{\infty}dp\,\phi (p+{k_0}) \right\}\cdot e^{ip\left( x-v_gt \right)}\cdot e^{ip^2\left( \frac{b}{2} \right)t}$$

 

그런데 이걸 한번 더 제곱하려고 합니다. 마음 같아서는 다 적고 싶지만 식이 너무 복잡해서 결과만을 쓰겠습니다.

 

$$\left| f(x,t) \right|^2=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2t^2}}\,e^{-\displaystyle \frac{a(x-v_gt)^2}{a^2+b^2t^2} }$$

 

[그림 2] 시간에 따라 변화하는 파속의 모양

 

$a,b$ 는 상수이고 $v_g$는 군속도입니다. 식을 잘 보면, $b\neq 0$ 이기 때문에 시간 $t$가 증가함에 따라서 진폭항은 0에 가까워지고 지수함수 부분을 보면 폭(width)이 계속 커짐을 뜻합니다. 한 파속이 시간이 지나면서 진폭은 작아지고 양옆으로 계속 퍼진다면 쉽게 말해 파속이 망가진다는 것과 다름이 없습니다. 입자의 위치를 파속으로 대체하여 해석해보려는 시도 자체는 가능할 수 있지만, 시간이 지나면 파속이 헝클어지지만 그렇다고 전자가 사라지거나 으깨지는 것은 아니기 때문에 시간 의존성을 어떻게 처리해야할 지 과제가 남게 됩니다. 이러한 문제를 깔끔히 해결할 수 있도록, 파동함수가 만족하는 미분방정식을 통해 양자역학을 완성해야 합니다. 그것이 슈뢰딩거 방정식입니다.

 

 

3) 파동함수의 유도

 

이제 파속에서 파동함수를 이끌어 내 봅시다. 여기서는 일단 입자가 자유입자(free particle)이라 가정하여 퍼텐셜에너지가 $V=U=0$ 인 상황을 고려하겠습니다.

 

$$\begin{align*}
v_g&=\frac{d \omega}{dk}=\frac{d }{dk}(2\pi f)=\frac{d }{dk}\left( \frac{hf}{\hbar} \right)\\\\&
=\frac{d }{dk}\left( \frac{E}{\hbar} \right)=\frac{1}{\hbar}\frac{d }{dk}\left( \frac{p^2}{2m} \right)
\\\\&= \frac{1}{\hbar}\frac{d p}{dk}\frac{d}{dp}\left( \frac{p^2}{2m} \right) \\\\&=
\frac{p}{m} \;\;\;(\because\;\;p=v_gm)
\end{align*}$$

$$\therefore \;\;p=\hbar k$$

 

박스의 두번째 운동량에 관한 관계식을 얻었습니다. 그 다음으로 할 것은 평면파를 물질파에 관한 식으로 바꾸는 일입니다. 이건 쉽게 말해 $k,\omega$ 를 $p, E$에 관한 식으로 바꾸겠다는 것입니다. 그 때는

 

$$p=\frac{h}{\lambda}=\frac{2\pi\hbar}{\lambda}=\hbar k$$

$$E=hf=\frac{h}{2\pi}\cdot 2\pi f=\hbar \omega$$

 

를 이용하면 됩니다. 최종적으로 정리한 파동함수 식은 다음과 같습니다.^[각주:2]

 

$$\Psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int\phi(p)e^{\displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}dp$$

 

 

근데 사실 파동도 아닌 놈을 파동함수로 기술한다는게 여전히 엉성해 보이지요. 그래도 어쨌든 전자가 파동성을 보여주기는 하니까 일단 어거지로 파동함수라는 물리량을 만들어 보기는 했는데, 정확히 파동함수가 의미하는 것이 무엇일까요? 그에 대한 해석은 당시 굉장히 많았고 당대의 물리학자들이 솔베이 회의에 모여서 떠들어 재꼈습니다. 그 중 가장 표준적으로 받아들여지고 있는 해석이 막스 보른의 주장으로, '보른 해석(Born interpretation)'이라 불립니다. 이 해석 방법은 '코펜하겐 해석(Copenhagen interpretation)'의 영역입니다. 코펜하겐 해석이 최선의 설명인지에 대한 의견은 분분하지만, 일단 코펜하겐 해석이 현재까지 양자역학적 현상을 설명하는데는 꾿꾿히 오류 없이 견뎌내고 있기 때문에 대부분의 교과서는 이 관점을 채택합니다.

 

 

이제 남은 것은 파속 개념을 활용하여, 시간에 따른 파동함수를 어떻게 기술할 것인지 방정식을 세우는 일입니다. 

 

 

 

 

[참고문헌]

Quantum physics, Stephen Gasiorowicz, 3e

 

 

 

 

1. 여기서 치환 문자 $p$는 운동량이 아니고 그냥 적당한 문자입니다. 괜히 헷갈리게 제가 $p$를 쓰긴 했지만 혼동하지만 않으면 됩니다. [본문으로]
2. 여기서 $p$는 운동량으로, 시간에 따른 파속을 볼 때 치환했던 $p=k-k_0$ 와는 다른 것입니다. 거기서는 그냥 치환용 문자일 뿐이지요. [본문으로]