레일리-진스 법칙과 자외선 파탄(Rayleigh-Jean's law of radiation and Ultraviolet catastrophe)

흑체복사에서 발견되는 문제점이 존재하는 두 번째 타자입니다.

 

이전 글에서 빈의 변위 법칙은 짧은 파장에서 잘 들어맞지만, 긴 파장에서 잘 들어맞지 않는다는 문제점이 있음을 지적하였습니다. 레일리-진스 법칙은 거꾸로 긴 파장에서 잘 들어맞지만, 짧은 파장에서 문제가 생긴다는 특징이 존재합니다.

 

그리고 레일리-진스 법칙은 빈의 변위 법칙 증명보단 어렵습니다. 자유도에 대한 내용이 나오는데, 이는 네이버 블로그에서 설명한 적이 있으니 그를 따라가시길 바랍니다. (아직 티스토리로 이전 못했습니다)

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2. 레일리-진스 법칙

 

에너지 등분배 법칙에 의하면, 온도 $T$ 에서 열적 평형을 이루고 있을 때 계의 에너지는 각 자유도(degree of freedom)당 $\displaystyle \frac{1}{2}k_BT$ 에 해당합니다. 이 관계를 이용해서, 흑체 내부에 정상파(stationary wave)인 함수에 의한 복사에너지 밀도를 구해보려고 합니다. 굳이 정육면체를 잡는 이유는 그게 그냥 제일 간단해서이고, 중요한 것은 경계조건을 정하는 것입니다. 물리학은 경계조건에 무관하기 때문에 경계조건으로 흑체의 꼭지점에서 파동함수가 0인 조건, 즉

 

$$\Psi(0)=\Psi(L)=0\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(1)
$$

 

을 택할 것입니다. 정상파는 꼭지점에서 마디(node)가 되어야 하기 때문에 이를 택한 것입니다. 그러면 정상파는 사인과 코사인의 선형결합으로 나타내는 편이지만, 경계조건을 만족하려면 사인파만 가능합니다. 경계조건을 쓰면

 

$$\sin k_iL=0  \;\;\Rightarrow \;\; k_i=\frac{n_i\pi}{L} \;\;\;(i=1,2,3 \;\;\mathrm{or\;\;}x,y,z)\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(2)$$

 

그리고 $n_i=1,2,3, \cdots $ 으로 자연수를 택합니다.

 

[그림 1]

 

$k$와 $dk$ 사이에 있는 상태수를 $dN$ 이라 해봅시다. 이 값은

 

$$dN=2\times \frac{1}{2^3}\times V' \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(3)
$$

 

에 해당합니다. 이걸 이해하는게 쉽지가 않은데요. 일단 [그림 1]을 봅시다. 각 축은 자유도에 해당하는 $x,y,z$ 에 해당하고 $n$은 상태수입니다. $n$값이 충분히 크면, 점들을 연속적 변수(continuous variables)로 취급할 수 있어서 주황색으로 색칠한 만큼의 부피를 $V'$ 이라고 하면,

 

$$\begin{align*}
V'\simeq 4\pi n^2dn&=4\pi\left( \frac{L}{\pi} \right)^3k^2dk\\\\&=
4\pi k^2dk\times\frac{L^3}{\pi^3}\\\\&=4\pi\left( \frac{2\pi f}{c} \right)^2 
\left( \frac{L^3}{\pi^3} \right)\left( \frac{2\pi}{c} \right)df \\\\&=
 \frac{4\pi L^3f^2}{c^3}df\times 8
\end{align*}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(4)$$

 

가 되는데요. 첫 줄에서 $kL=\pi n $ 이기 때문에 $dn=dk\left( \displaystyle \frac{L}{\pi} \right)$ 임을 이용했고, 그리고 다시 $k$를 $f$에 대해서 치환한 것입니다. $k$는 파수(wave number)임을 기억합시다. 이제 식 $(3)$을 다시 바라보면 처음의 $2$는 편광 자유도를 뜻하는 것으로 전자기파의 $\mathbf{E}, \mathbf{B}$ 는 수직이기에 독립적인 자유도를 가진다는 뜻입니다. 두번째의 $\displaystyle\frac{1}{2^3}$ 은 $\displaystyle \frac{1}{8}$ 사분면을 보고 있기 때문에 그런 것이고, 마지막 항은 $V'$ 이 되지요. 허겁지겁 눈알을 요리저리 굴려야 할텐데, 잘 따라오시길 바라겠습니다.

 

그럼 다시 상태수 $dN$을 계산해봅시다.

 

$$\begin{align*}
dN&= \left( \frac{1}{2^3}\times 2 \right)\times\left( \frac{4\pi L^3f^2}{c^3}df\times 8 \right)
\\\\&=\frac{8\pi f^2}{c^3}df\times L^3\\\\&=\frac{8\pi f^2 df}{c^3}\times V
\end{align*}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(5)$$

 

$V:=L^3$ 으로 그냥 정육면체의 부피입니다. 자, 그러면 이것은 $k$와 $dk$ 사이에 있는 상태수에 해당하는 것이고, 원래 $dN$은 $(4)$ 에서 근사시킨 것처럼 $n$에 관한 식이어야 하지만 $k$에 대한 식으로 치환을 한 셈입니다. 왜냐면 우리는 파동을 알고 싶고 $k$는 파수이기 때문입니다. 그렇다면, 최종적으로 등분배 법칙을 사용했을 때 이 $dN$이 같는 에너지는

 

$$E=\left\langle E \right\rangle dN=\left( \frac{1}{2}k_BT\times 2 \right) \left( \frac{8\pi f^2 df}{c^3}\times V \right)=k_BT \times\frac{8\pi f^2 df}{c^3}\times V$$

 

편광자유도가 $2$이기 때문에 자유도 당 등분배 법칙은 $\displaystyle\frac{1}{2}k_BT$ 를 부여합니다. 자유도가 둘이니까 2를 곱한 것이구요. 그렇다면, 이건 에너지이고, 에너지 밀도는 이를 부피로 나눠주기만 하면 됩니다.

 

정리($Q.M$) 1.2
[레일리-진스 공식(Reyleigh-Jean's law of radiation)]

$$u(f,T)=\frac{8\pi k_B }{c^3}\cdot Tf^2$$
그런데 이 식은 파장이 긴 영역에서는 실험 결과와 잘 일치하지만, 파장이 짧은 영역에서는 매우 큰 값으로 에너지 밀도 $u$가 발산한다. 이러한 문제를 '자외선 파탄(Ultraviolet catastrophe)' 라고 부른다.

 

[그림 2] Classical theory 곡선이 바로 레일리-진스 법칙에 의한 것이다. 이를 보면 절대온도가 2000K인 흑체에 대하여 파장이 짧은 영역에선 에너지 밀도가 무한대에 가깝게 발산하는 문제가 생긴다. 하지만 실험 결과는 실선 곡선과 같이 종 모양의 곡선이 나온다.

 

결국 파장이 긴 곳이나 짧은 곳이나 고전적으로 해결하지 못하는 문제가 생깁니다. 고전적이라는 것은 곧 레일리-진스 법칙과 빈의 변위 법칙을 뜻하는 것입니다.

 

이 문제를 혜성처럼 등장해 해결한 주인공이 막스 플랑크입니다. 그래서 흑체복사는 결국 결론이 플랑크 곡선이죠. 다음 시간에 파헤쳐 보도록 하겠습니다.

 

 

[참고문헌]

Quantum physics, Stephen Gasiorowicz, 3e

Halliday, David, Resnick, Robert, Walker, Jearl - Fundamental of Physics, 10th, WILEY