플랑크 법칙과 플랑크 곡선(Planck's law, Planck's curve)

이제 드디어 플랑크 법칙을 다룰 차례입니다. 빈의 변위 법칙과 레일리-진스 법칙에서 발생하는 모든 문제를 해결한 장본인이 막스 플랑크입니다. 

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3. 플랑크의 법칙

 

1) 우연한 아이디어

 

플랑크는 자외선 파탄을 해결하기 위해서 흑체의 복사에너지가 연속적이지 않고, $E=nhf$ 으로 불연속적이라는 가정을 꺼내 놓습니다. $n$은 자연수입니다. 곧, 특정 진동수의 양의 정수배만큼의 에너지만을 가질 수 있다는 것으로, 이를 에너지가 '양자화(quantamization)'되었다고 말합니다. 사실, 레일리-진스 법칙에서 사용한 에너지 등분배 법칙은 에너지가 연속적일때만 사용할 수 있는 공식입니다. 그러나 양자역학은 결과를 보면 알겠지만 에너지가 불연속적으로 양자화되어있기 때문에, 결코 등분배 법칙을 마음대로 사용할 수가 없습니다.

 

[그림 1] 플랑크 곡선. 플랑크의 이론에 의해 흑체복사를 드디어 완벽하게 설명할 수 있게 된다.

 

2) 계산

 

에너지가 위와 같이 양자화되었다고 생각하고, 평균값을 계산해 봅시다. 계가 열적 평형 상태에 놓여 있어서 에너지의 분포가 볼츠만 분포(Boltzmann distribution)를 따른다고 가정할 것입니다.^[각주:1]

 

$$\begin{align*}
\left\langle E \right\rangle&=\frac{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}nEe^{\displaystyle -\frac{nE}{k_BT}}}
{\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}e^{-\displaystyle \frac{nE}{k_BT}}}=\frac{Ex+2Ex^2+3Ex^3+\cdots }{1+x+x^2+x^3+\cdots}\\\\&=\frac{\displaystyle \frac{Ex}{(1-x)^2}}{\displaystyle \frac{1}{1-x}}
=\frac{Ex}{1-x}=\frac{hf}{e^{ \displaystyle\frac{hf}{k_BT}-1}}
\end{align*}$$

 

여기서 분모는 분배함수로 규격화(Normalization)를 뜻합니다. 그리고 중간에 계산할 때 수학적 테크닉이 좀 필요한데, 먼저 $e^{-\displaystyle \frac{E}{k_BT}}\equiv x$ 치환을 사용했습니다. 그리고 이항정리에 대한 테크닉이 필요합니다. 모르시면 미적분학!을 복습해야 합니다.

 

등장한 에너지의 평균값에 상태 수를 곱하면,

 

$$\left\langle E \right\rangle dN=\frac{hf}{e^{\displaystyle \frac{hf}{k_BT}}-1}\times
\left( \frac{8\pi }{c^3}f^2 df \right)\times V$$

 

를 얻고, 그러므로 부피만큼 나누어서 에너지 밀도 값을 얻게 됩니다.

 

정리($Q.M$) 1.3
플랑크의 에너지 양자화 개념을 도입하여 $E=hf=h\nu$ 를 고려하면, 흑체가 방출하는 에너지 밀도는 다음과 같이 주어진다.

$$u(f,T)=\frac{8\pi h}{c^3}\frac{1}{e^{\displaystyle \frac{hf}{k_BT}}-1}\times f^3$$
이 결과는 짧은 파장 영역대와 긴 파장 영역대에서 레일리-진스 법칙과 빈의 변위 법칙에서 발생했던 문제를 말끔히 해결한다. 즉, 모든 파장 및 진동수 영역에 걸쳐 실험 결과와 일치하는 결과를 보여준다.

 

정말 고전 이론에서 발생한 문제가 제거되는지 확인해 봅시다.

 

 

i) 짧은 파장 영역(자외선 파탄, 레일리-진스 법칙의 한계)

 

짧은 파장은 진동수가 매우 큼을 뜻합니다. 그렇다면 지수함수 부분에서 분모는 그냥 빼기 1을 제외하고 지수함수 한 항으로 취급할 수 있습니다. 그러므로

 

$$u(f,T)\simeq \frac{8\pi h}{c^3}e^{-\displaystyle \frac{hf}{k_BT}}$$

 

이 되지요. 근데 이 식은 빈의 변위 법칙을 뜻합니다. 진동수의 3제곱이 있고, 앞은 상수, 그리고 지수함수 항이 하나 있지요. 

 

 

ii) 긴 파장 영역(빈의 변위 법칙의 한계)

 

$$\frac{1}{e^{\displaystyle \frac{hf}{k_BT}}-1}=\frac{1}{\left\{ 1+\displaystyle\frac{hf}{k_BT}+
\frac{1}{2!}\left( \frac{hf}{k_BT} \right)^2+\cdots\; \right\}-1}\simeq \frac{k_BT}{hf}$$

 

테일러 급수를 바탕으로 근사를 시키는 것입니다. 그러면 역시 에너지 밀도는

 

$$u(f,T)\simeq \frac{8\pi f^2}{c^3}k_BT$$

 

으로 레일리-진스 법칙에 대응됩니다. 매우 신기하지 않나요?

 

 

 

[참고문헌]

Quantum physics, Stephen Gasiorowicz, 3e

 

 

 

1. 통계역학 또는 열물리학에 대한 개념이 필요합니다. [본문으로]