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미분방정식(Differential equation)/고급 상미분방정식9

스투름-리우빌 이론(Sturm-Liouville Theory) 스투름-리우빌 이론은 미분방정식을 아름답게 조작하고 해를 특별한 성질을 갖는 함수로 취급할 수 있게 미분방정식을 조작하는 기술을 다루고 있는 이론입니다. 이 탁월한 이론은 보통 공대생이나 수학과 학생보다 물리학과 학생이 먼저 마주할 가능성이 높습니다. 그 까닭은 스투름-리우빌 이론이 선형대수학에서 에르미트, 또는 허미션 연산자(Hermitian operator)에 대한 개념이 필요하고 그 개념은 수학과와 물리학과에서만 제대로 파내 활용하기 때문입니다. 에르미트 연산자만 놓고 보면 수학보다도 물리에서 무궁무진하게 쓰입니다. 따라서 스투름-리우빌 이론은 상미분방정식과 선형대수학을 공부하고나서 그 진가를 이해할 수 있는 마지막 보스급 문제입니다. 이는 내용이 무진장 어렵다는 뜻이 아니라 선수 요구 지식이 많다.. 2022. 4. 26.

2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해의 급수 형태 (The form of Second Series solution in second-order linear homogeneous ODE) 앞선 시간에 2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해는 첫번째 해를 바탕으로 엮어 적분식으로 쓸 수 있음을 보였습니다. 이 관계는 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식에서는 별로 유용하지 않지만, 특수함수를 내포한 복잡한 상미분방정식을 프로베니우스 방법으로 다루면서 상정하는 급수해를 적을 때 등장하는 두번째 해를 탐구하는데 지참할 도구로서 기능합니다. 오늘은 두번째 해에 대한 급수 형태를 찾을 것입니다. 다시 말하지만 급수 형태의 해를 굳이 찾는 이유는 특수함수가 포함된 상미분방정식의 해를 찾을 때 프로베니우스 방법을 쓰기 때문입니다. 프로베니우스 방법을 쓰는 이유는 이걸 안쓰고서는 해를 구하기 어렵기 때문이고요. 1. 2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해의 급수 형태 오늘은 역대 최장 포스팅이 될 것.. 2021. 12. 24.

정칙 특이점 근방에서의 급수해 (Series solution Near a Regular Singular point) 일전에 정상점 근방에서는 $y=y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 로 두고 해를 구했으며 이러한 급수해를 가정하여 미분방정식의 해를 찾는 방법이 프로베니우스의 방법이라고 했습니다. 이 방법은 정상점과 정칙 특이점 근방에서의 멱급수 전개를 할 때만 성공할 수 있으며, 오늘은 정칙 특이점 근방에서 급수해를 획득하게 될 것입니다. 이는 정상점의 경우보다 어렵습니다. 그러나 물리학에서 자주 등장하는 각종 특수함수들은 대부분 정칙 특이점 근방에서 급수해로 미분방정식을 풀어 나온 탄생물들인지라 수학을 너머 과학과 공학에서도 무거운 의미를 갖는 만큼 이 방법을 훌륭히 연마해 두는 것이 좋습니다. 1. 정칙 특이점을 갖는 2계 미분방정식 미분방정식 $$P(x)y''+Q(x).. 2021. 2. 4.

코시 오일러 미분방정식과 일반해 (The general solution of Cauchy-Euler Differential Equation) 저번 글에 이어서 코시-오일러 미분방정식의 일반해를 유도해 볼 것입니다. 거기서 간략히 언급했었듯이 이 방정식은 $y$항의 미분횟수에 대해 그 숫자와 같은 $x$의 거듭제곱이 앞에 붙어있으므로, $x^r$ 꼴의 해를 가진다는 사실을 알 수 있습니다. 오늘은 이를 통해 $r$의 값에 따라 어떻게 해의 모양이 형태가 바뀔 것인지를 논의할 예정입니다. 2. 코시-오일러 방정식의 지표방정식 코시-오일러 방정식을 설명하는 이유는 2계 미분방정식 $$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\;\;\;\cdots \;\;(1)$$ 이 $x=x_0$ 에서 특이점을 가질 때, 급수해를 찾기 위해서입니다. 결론적으로 말하면 이 점이 정칙 특이점인 경우에는 프로베니우스 방법을 통해 해를 구할 수 있습니다. 근데 그 과정을 .. 2021. 2. 3.

코시 오일러 방정식을 변수치환을 이용하여 풀기 (Find the solution of Cauchy-Euler Differential Equation by using substitution of variable) 코시-오일러 방정식은 복잡한 2계 미분방정식의 멱급수 해를 찾기 위한 프로베니우스 방법을 꺼내들 때 빼놓을 수 없는 대장 미분방정식입니다. 그 형태 또한 가만 보아도 특별한 꼴을 지니고 있으며 계수가 $x$에 관한 식으로 구성된 모든 2계 미분방정식의 풀이를 위해 존재한다고 해도 과언이 아닌 특별한 방정식이라 할 수 있습니다. 일반적으로 코시-오일러 미분방정식의 풀이는 두 가지 종류로 구분해 볼 수 있는데, 하나는 풀기가 쉬운 계수가 상수인 2계 미분방정식으로 바꾸어 풀어내는 방법이고, 나머지 방법은 $x^r$ 꼴의 해를 가정해서 풀어보는 것입니다. 후자의 방법은 다음 글에서 진행할 것이고 일반적인 미분방정식의 급수해 형태를 제작하는데 밑거름이 됩니다. 1. 변수치환을 이용하여 풀기 $n$계 '코시-오일.. 2021. 2. 3.

Fuchs 의 정리 (Fuchs' Theorem) [주의] 이번 포스팅을 읽기 전에 테일러 급수, 해석함수, 프로베니우스의 방법, 정상점과 특이점에 관한 개념을 반드시 숙지해야 합니다. 급수해를 이용하여 미분방정식을 몇가지 풀어봤습니다. 이제, 정상점과 특이점을 알았고 정상점 및 정칙 특이점에서만 프로베니우스 방법을 사용하는 것이 가능하다는 사실에 관한 정리를 소개할 것입니다. 참고로, 오늘 내용은 꽤나 어렵기 때문에, 수학과를 제외한 자대, 그리고 공대생 학도들이면 이렇게까지 심도있게 파헤치지 않아도 됨을 미리 발설하겠습니다. 1. 테일러 전개 $P,Q,R$ 이 다항함수일 때, 2계 선형 동차 미분방정식 $$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\;\;\;\cdots \;\;(1)$$ 의 해를 급수형태로 찾는다고 해봅시다. 그 급수는 정상점 $x=x.. 2021. 2. 1.

정상점 근방에서의 급수해 (Series solution Near a Ordinary point) 이제 프로베니우스 방법을 적용해 2계 미분방정식의 급수해를 획득해 볼 차례입니다. 급수 형태의 해는 멱급수이고, 멱급수는 언제나 중심이 중요합니다. 이번에는 정상점 근방에서의 급수해를 만들어 볼 것이고 이것의 특징을 분석하려 합니다. 예제 1) 미분방정식$$y''+y=0\;\;,\;\;(x\in \mathbb{R})$$의 급수해를 구하여라. sol) $P(x)=1\;,\;Q(x)=0\;,\;R(x)=1$ 이므로, $P(x)\neq 0$ 을 만드는 점 $x$는 존재하지 않습니다. 따라서 모든 실수 $x$가 정상점입니다. 어느 점을 중심으로 해서 멱급수를 전개하던지 상관이 없다는 것인데 간단하게 $x=x_0=0$ 을 고려하겠습니다. 그러면 우리가 상정할 급수의 형태는 $$y=\sum_{n=0}^{\infty.. 2021. 2. 1.

미분방정식에서 정상점과 특이점 (Ordinary point and singular point in the Differential Equation) 미분방정식의 해를 급수 형태라 가정하고 해를 찾는 풀이법을 프로베니우스 방법이라 하며 바로 전 포스팅에서 설명했습니다. 프로베니우스 방법이 먹히려면 주어진 미분방정식이 특정한 형태를 갖추고 있어야 하는데, 그것은 '점'과 관련된 성질입니다. 이를 오늘 본격적으로 파헤쳐 볼 것입니다. 다음과 같은 2계 선형 동차 상미분 방정식의 일반적인 형태를 봅시다. $$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0$$ 여기서 $P,Q,R$ 이 해석함수(그러나 아주 많은 경우에 이들은 다항함수 형태이니, 다항함수라 생각해도 됩니다)라 하고, 공통인수를 갖지 않는 꼴이라 생각할 것입니다. 공통인수를 가지면 그것으로 나누라는 뜻입니다. (즉, $P,Q,R$ 은 셋이서 놓고 보았을 때 특정 인수로 인수분해가 더 이상 안되는 관계라.. 2021. 1. 31.

프로베니우스 방법과 급수해 (Frobenius methods and Series solution) 2계 상미분 방정식은 계수가 상수일 때와 그렇지 않은 경우로 나눌 수 있습니다. 계수가 상수인 경우는 해법(미분방정식 카테고리에 포스팅)이 꽤나 간단하며 명확하게 해석적인 해(Analytic solution)를 구할 수 있어서 정해진 길을 따라 마치 공식 대입하듯이 풀면 해를 구하는 과정이 용이합니다. 반면 계수가 미지수가 되는 경우, 즉 독립변수 $x$의 함수가 되어버리면 상당히 골치아픈 구조가 되어버려 풀이 과정이 복잡하고 난이도가 급증하게 됩니다. 헌데 물리학에서 다루는 상당한 종류의 특수함수들은 이러한 미분방정식을 풀면서 등장하게 되고, 필연적으로 자연 현상을 설명하는 방정식에서 툭툭 튀어나오게 됩니다. 그리하여 공학, 물리학 과정에서 계수가 상수가 아닌 2계 선형 미분방정식을 푸는 방법은 매우 .. 2021. 1. 31.

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