반응형 양자역학(Quantum Physics)/공리, 해석4 두 연산자의 교환과 동시 고유벡터(Commutable and Simultaneous eigenvector) 양자역학에서 두 연산자에 대한 고유벡터가 동일하다는 것은 대단히 큰 의미를 갖습니다. 이때 교환자(Comutator)의 개념이 중대한 역할을 합니다. 조심할 것은 같은 고유값을 갖는 고유벡터가 존재할 때, 이 고유벡터들은 축퇴(degeneracy)되어있다고 말하는데 지금은 이를 말하는 것이 아니고 고유벡터가 같은 상황에 주목하는 것이며, 이때 고유값이 특별히 꼭 같을 필요는 없습니다. 이 성질은 대단히 중요하고 특히 각운동량에 대한 이론을 전개할 때 수시로 등장하기에 꼭 알고 있어야 합니다. 1. 연산자의 교환과 동시 고유벡터 결과부터 말하자면 두 명제는 필요충분조건입니다. 명제 하나씩 나눠서 증명해 보겠습니다. 1) 동시 고유벡터를 가지면 두 연산자가 교환한다. 정리($Q.M$) 2.7 고유벡터 $|\.. 2022. 8. 16. 양자역학에서 완전성 관계(Completeness relation) 브라켓 표기법을 배운 다음 가장 먼저 증명해야 할 것이 완전성 관계입니다. 1. 완전성 관계(Completeness relation) 1) 불연속적 고유값에 관한 완전성 관계 정리($Q.M$) 2.6 불연속적인 고유값을 갖는 고유벡터에 대한 완전성 관계는 $$\sum_{n}^{}\,|n \rangle\langle n|=\mathbf{I}$$ 증명) $$\Psi(x,0)=\sum_{n}^{}c_n\psi_n(x) \;\;\ \Rightarrow \;\; |\Psi\rangle=\sum_{n}^{}c_n|n\rangle$$ 가 성립하고, $c_n=\langle n|\Psi\rangle$ 의 관계를 이용하면, $$\begin{align*} \langle \phi|\Psi\rangle =\sum_{n}^{}c_.. 2022. 8. 9. 고유값 문제와 행렬 성분(The Eigenvalue problem and Matrix components) 학부 선형대수학을 보면 크게 선형변환(Linear transformation) 또는 선형사상(Linear mapping) 을 다루다가 나중에 이를 행렬(matrix)로도 다룰 수 있다고 하여, 두 가지 관점을 체득하게 됩니다. 양자역학에서는 슈뢰딩거 방정식에서 연산자를 먼저 등장시키고 나중에 서서히 그 연산자들을 행렬로 바꿔서 표현할 수 있음을 보여주고 그를 위해서 디랙 표기법이 필요합니다. 참고로 '연산자(operator)'는 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 에서 $W=V$, 곧 $T:V\rightarrow V$ 처럼 정의역과 치역이 같은 벡터공간인 선형변환을 가리킵니다. 고유값 문제에 관한 일반적인 수학적 지식은 행렬 관점 이곳과 연산자 관점 이곳을 참조하시기 바랍니다. 양자역학을 제대로 .. 2022. 5. 28. 디랙 표기법 , 브라켓 표기법(Dirac notation, Bracket notation) 양자역학에서는 벡터와 벡터의 내적을 표기할 때 수학에서와 약간 다른 표기법을 사용합니다. 처음에는 익숙하지 않을 것이니 여러 번 연습하며 익숙해져야 합니다. 1. Dirac 표기법/Bracket 표기법 1) 양자역학에서의 내적 정리($Q.M$) 2.1 양자역학에서의 내적은 수학적으로 내적공간의 정의를 따라가지만, 선형성을 가지는 변수의 순서 차이가 존재한다. ① 첫 변수에 대한 Anti-linearlity : $\langle \alpha x|y \rangle=\alpha^*\langle x|y \rangle$ ② 두번째 변수에 대한 linearlity : $\langle x|\alpha y \rangle=\alpha \langle x|y \rangle$ 이것의 뜻을 잘 모르겠다면 내적공간에 대한 설명을 .. 2022. 5. 27. 이전 1 다음 반응형