반응형 양자역학(Quantum Physics)/공리, 해석5 양자역학의 공리와 힐베르트 공간(Axiom of Quantum Mechanics and Hilbert space) 물리학과 수학은 오묘하고도 매우 밀접한 관계를 가지는데, 그렇다고 완전히 같을 수는 없으며 몇몇 중대한 차이점을 지닙니다. 그 중 하나가 공리에 대한 해석이라고 볼 수 있습니다. 수학은 연역적인 논리에 입각한 학문이기 때문에, 정의나 증명을 건전하고 올바르게 건립하기 위해 밑바닥이 되는 공리를 설계하는 작업이 매우 중요시됩니다. 수학자들이 적절히 합의하여 튼튼한 공리를 세우고 나면, 연역 논리에 따라 그로부터 비롯되는 정리가 타당하고 건전하게 유도 및 증명되어, 시간이 지나도 좀처럼 그 이론이 무너지지 못합니다. 공리가 서 있는 한, 그로부터 연역적으로 유도된 명제들의 참/거짓 여부가 달라지기 매우 어렵다는 뜻입니다. 하지만 물리학을 포함한 과학은 귀납의 영역이기 때문에, 인간의 경험과 사고, 실험과 지.. 2025. 3. 6. 두 연산자의 교환과 동시 고유벡터(Commutable and Simultaneous eigenvector) 양자역학에서 두 연산자에 대한 고유벡터가 동일하다는 것은 대단히 큰 의미를 갖습니다. 이때 교환자(Comutator)의 개념이 중대한 역할을 합니다. 조심할 것은 같은 고유값을 갖는 고유벡터가 존재할 때, 이 고유벡터들은 축퇴(degeneracy)되어있다고 말하는데 지금은 이를 말하는 것이 아니고 고유벡터가 같은 상황에 주목하는 것이며, 이때 고유값이 특별히 꼭 같을 필요는 없습니다. 이 성질은 대단히 중요하고 특히 각운동량에 대한 이론을 전개할 때 수시로 등장하기에 꼭 알고 있어야 합니다.1. 연산자의 교환과 동시 고유벡터 결과부터 말하자면 두 명제는 필요충분조건입니다. 명제 하나씩 나눠서 증명해 보겠습니다. 1) 동시 고유벡터를 가지면 두 연산자가 교환한다. 정리(Q.M) 2.7고유벡터 $|\p.. 2022. 8. 16. 양자역학에서 완전성 관계(Completeness relation) 브라켓 표기법을 배운 다음 가장 먼저 증명해야 할 것이 완전성 관계입니다. 1. 완전성 관계(Completeness relation) 1) 불연속적 고유값에 관한 완전성 관계 정리(Q.M) 2.6 불연속적인 고유값을 갖는 고유벡터에 대한 완전성 관계는 ∑n|n⟩⟨n|=I 증명) Ψ(x,0)=∑ncnψn(x) ⇒|Ψ⟩=∑ncn|n⟩ 가 성립하고, cn=⟨n|Ψ⟩ 의 관계를 이용하면, $$\begin{align*} \langle \phi|\Psi\rangle =\sum_{n}^{}c_.. 2022. 8. 9. 고유값 문제와 행렬 성분(The Eigenvalue problem and Matrix components) 학부 선형대수학을 보면 크게 선형변환(Linear transformation) 또는 선형사상(Linear mapping) 을 다루다가 나중에 이를 행렬(matrix)로도 다룰 수 있다고 하여, 두 가지 관점을 체득하게 됩니다. 양자역학에서는 슈뢰딩거 방정식에서 연산자를 먼저 등장시키고 나중에 서서히 그 연산자들을 행렬로 바꿔서 표현할 수 있음을 보여주고 그를 위해서 디랙 표기법이 필요합니다. 참고로 '연산자(operator)'는 선형변환 T:V→W 에서 W=V, 곧 T:V→V 처럼 정의역과 치역이 같은 벡터공간인 선형변환을 가리킵니다. 고유값 문제에 관한 일반적인 수학적 지식은 행렬 관점 이곳과 연산자 관점 이곳을 참조하시기 바랍니다. 양자역학을 제대로 .. 2022. 5. 28. 디랙 표기법 , 브라켓 표기법(Dirac notation, Bracket notation) 양자역학에서는 벡터와 벡터의 내적을 표기할 때 수학에서와 약간 다른 표기법을 사용합니다. 처음에는 익숙하지 않을 것이니 여러 번 연습하며 익숙해져야 합니다.1. Dirac 표기법/Bracket 표기법1) 양자역학에서의 내적 정의(Q.M) 2-1) 양자역학에서 내적양자역학에서의 내적은 수학적으로 내적공간의 정의를 따라가지만, 선형성을 가지는 변수의 순서 차이가 존재한다.① 첫 변수에 대한 Anti-linearlity : ⟨αx|y⟩=α∗⟨x|y⟩② 두번째 변수에 대한 linearlity : ⟨x|αy⟩=α⟨x|y⟩ 이것의 뜻을 잘 모르겠다면 내적공간에.. 2022. 5. 27. 이전 1 다음 반응형
