디랙 표기법 , 브라켓 표기법(Dirac notation, Bracket notation)

양자역학에서는 벡터와 벡터의 내적을 표기할 때 수학에서와 약간 다른 표기법을 사용합니다. 처음에는 익숙하지 않을 것이니 여러 번 연습하며 익숙해져야 합니다.

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1. Dirac 표기법/Bracket 표기법

1) 양자역학에서의 내적

 

정리($Q.M$) 2.1

양자역학에서의 내적은 수학적으로 내적공간의 정의를 따라가지만, 선형성을 가지는 변수의 순서 차이가 존재한다.

① 첫 변수에 대한 Anti-linearlity : $\langle \alpha x|y \rangle=\alpha^*\langle  x|y \rangle$
② 두번째 변수에 대한 linearlity : $\langle  x|\alpha y \rangle=\alpha \langle x|y \rangle$

 

이것의 뜻을 잘 모르겠다면 내적공간에 대한 설명을 보는 것이 좋지만, 굳이 그것을 보지 않더라도 저렇게 내적이 정의된다고 생각해도 됩니다.

 

 

2) 정의

 

정리($Q.M$) 2.2
[Dirac 표기법/Bracket 표기법]

'브라 벡터(Bra vector)'는 벡터 $\psi$ 의 각 성분들에 켤레(conjugate)를 취하여 행벡터로 나타낸 것으로 $$\langle  \psi | =\begin{pmatrix}
\psi_1^* & \psi_2^* & \cdots  & \psi_n^*
\end{pmatrix}$$ 이고, '켓 벡터(ket vector)'는 벡터 $\psi$ 의 각 성분들을 열벡터로 나타낸 것으로
$$|\psi \rangle=\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2 \\
\vdots \\
\psi_n
\end{pmatrix}$$ 로 표현한다. 이 때 고전적인 벡터 표기법과 비교하면 켓벡터는 단순히 $ | b \rangle =\overrightarrow{b}=\mathbf{b}$ 와 같은 것이지만, 브라벡터는 단순 행벡터가 아닌 벡터의 내적 형태를 기술하는 것에 가깝다. 그러므로 $\langle  a | =\mathbf{a}\cdot \left\{ \;\; \right\}=\langle a | \left\{ \;\; \right\} \rangle$ 로 나타낸다.

그러면 두 벡터(함수) 사이의 내적은 아래와 같이 표기한다.
$$\\\\ \langle \psi_1 | \psi_2 \rangle=\int_{}^{}\;\psi_1^*\psi_2 \,dx$$

 

박스에서 추가로 적혀 있는 설명을 잘 이해해야 합니다. 켓벡터는 그냥 내적에서 두번째 자리에 오는 벡터를 열벡터로 나타낸 것으로 생각하면 그만이지만, 브라 벡터는 단순히 행벡터인 것이 아니라 각 성분에 켤레^[각주:1]를 취해야 하고, 뒤에 자리가 비어있는 내적 연산자 개념으로 보는 것이 좋습니다.

 

그렇다면 내적은 브라켓 기호를 사용해서, 두 벡터 사이에 막대기(bar)를 넣은 것이 적분 형태에서는 첫번째 함수에 켤레를 취한 뒤 두번째 함수와 곱해 적분한 모습으로 나타나게 됩니다.

 

브라켓을 이용해 내적을 표현해도 내적의 기본적인 성질들이 유지됩니다. 사실 선형대수학에서 쓰는 내적의 기호는 두 벡터 사이에 쉼표를 넣지만, 내적 자체만 놓고 보면 디랙 표기법에선 쉼표 대신 막대기가 들어갔다는 것 밖에 없습니다.

 

 

2) 내적 표기에 관한 수정

 

그런데 벡터는 행렬과의 곱 연산을 할 수 있고, 이것은 적분에서도 파동함수가 선형연산자로 곱해진 형태로 나타나게 됩니다. 디랙 표기법은 이러한 기술을 할 때 장점이 많습니다.

 

정리($Q.M$) 2.3

브라벡터, 행렬, 켓벡터의 순차적 곱 형태의 적분식은 정의에 의하면 다음의 관계를 가진다.

$$\\\\ \int_{-\infty}^{\infty}\phi^*(x)A\psi(x)=\langle \phi|A\psi \rangle = \langle \phi|A|\psi \rangle$$

 

여기서 생각해볼만한 것이 있는데 바로

$$\langle \phi|A\psi \rangle = \langle \phi|A|\psi \rangle$$

이 식입니다. 좌변이 왜 우변과 같은지 고민을 해보아야 합니다. 일단 적분식을 보면 켤레는 $\phi(x)$ 에만 붙어 있으니 $\phi(x)$ 가 내적의 첫번째 변수이고 뒤에 있는 $A\psi(x)$ 가 내적의 두번째 부분임을 가리키는 것이 좌변의 뜻입니다. 그런데 우변은 무슨 뜻일까요? 우변의 표현은 일단 수학적으로 해석할 수 없는데, 내적 기호 안에 쉼표가 두 번 들어갈 수 없듯이 바가 두 번 들어갈 수는 없기 때문입니다. 그래서 우변은 디랙 표기법으로 해석하는 것인데, 이는

 

$$\langle \phi|A|\psi \rangle= \langle \phi |\;\;A\;\; |\psi \rangle$$

 

이렇게 브라벡터, 행렬, 켓벡터로 쪼개서 생각하라는 뜻입니다.

 

다시 말해, 좌변의 표현은 만일 $A$ 오른쪽에 막대기를 넣지 않으면 $\psi \rangle$ 인데 이는 의미는 켓벡터가 맞지만 표기법이 잘못되었다는 것이지요. 수학적으로는 $\langle \phi|A\psi \rangle$ 가 내적의 뜻이지만, 디랙 표기법의 관점에서는 내적이란걸 알긴 알아도 표기법 자체가 미완성인 형태라는 뜻입니다. 그래서 디랙 표기법을 지키기 위해서는 세 부분으로 뜯어서 브라, 행렬, 켓으로 정확히 볼 수 있도록 막대기를 하나 더 넣어서 우변이 조금 더 예쁜 형태라는 뜻입니다.

 

그렇지만 주의할 것은 $\langle \phi|A\psi \rangle $ 표현이 틀렸다는 것은 아니라는 점입니다. 수학적으로 해석하면 내적의 쉼표 뒤에 있는 $A\psi$ 는 하나의 벡터로 취급할 수 있긴 하니까, $\langle \phi|A\psi \rangle $ 표현은 두 벡터의 내적을 뜻하고 계산 결과는 $\langle \phi|A|\psi \rangle$ 와도 같지요. 즉 디랙 표기법을 배우고 있는 우리가 이 표기법을 정확히 지키면서 사용하기 위해서 $\langle \phi|A|\psi \rangle$ 가 좀 더 적절하다는 말을 하는 것입니다. 그래서 위 박스 내용은 증명이라기 보다는 표기법을 어떻게 쓰느냐의 관점 차이로 받아들이는 것이 좋습니다.

 

 

3) 기저벡터(basis)의 정의

 

선형대수학에서 정의하는 기저가 무엇인지는 알고 있을 것이라 믿습니다. 그런데 표기법에서 기저를 나타내는 방법을 소개하려고 합니다.

 

정리($Q.M$) 2.4

$i$번째 요소만 $1$이고 나머지 성분들은 모두 $0$인 벡터는 기저벡터(basis)이고, 이를 $|i \rangle$ 로 나타낸다. 즉
$$|i \rangle=\begin{pmatrix}
0 \\
\vdots \\
1 \\ 
\vdots \\
\end{pmatrix}$$ 이다. Hilbert 공간은 무한차원이므로 일반적으로 기저벡터는 1개의 성분만 1이고, 나머지는 개수를 셀 수 없는 0인 성분들로 이루어져 있다.

 

보통 학부 선형대수학에서는 유한차원에 대한 분석을 주로 하는데, Hilbert 공간은 무한차원이기 때문에 학부 선형대수학의 논리를 그대로 이행시켜 적용할 때 수학적으로 엄밀하지 않게 됩니다. 그러나 함수해석학이라는 분야의 등장으로 대부분의 유한차원에서 벡터공간의 성질이 무한차원에서도 적용된다는 사실을 밝혀냈고 그 이론적 토대 위에 양자역학을 세울 수 있는 것입니다. 여기서도 기저에 대한 차이가 있는데, 선형대수학에서 기저는 성분이 유한개이지만 위 박스에서 설명하는 기저는 성분의 개수가 유한하다는 보장이 없습니다. 그래서 $i$번째 성분만 $1$이고, 나머지는 모두 성분이 $0$이라 생각하면 됩니다.

 

 

 

1. 양자역학에서는 내적을 정의할 때 첫 번째 변수에 켤레가 붙음. [본문으로]