양자역학에서 완전성 관계(Completeness relation)

브라켓 표기법을 배운 다음 가장 먼저 증명해야 할 것이 완전성 관계입니다.

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1. 완전성 관계(Completeness relation)

 

1) 불연속적 고유값에 관한 완전성 관계

 

정리($Q.M$) 2.6
불연속적인 고유값을 갖는 고유벡터에 대한 완전성 관계는
$$\sum_{n}^{}\,|n \rangle\langle n|=\mathbf{I}$$

 

증명) $$\Psi(x,0)=\sum_{n}^{}c_n\psi_n(x) \;\;\ \Rightarrow \;\; |\Psi\rangle=\sum_{n}^{}c_n|n\rangle$$
가 성립하고, $c_n=\langle n|\Psi\rangle$ 의 관계를 이용하면,
$$\begin{align*} \langle \phi|\Psi\rangle =\sum_{n}^{}c_n \langle \phi|n\rangle=\sum_{n}^{}\,\langle n|\Psi\rangle \langle \phi|n\rangle = \sum_{n}^{}\,\langle \phi|n\rangle\langle n|\Psi\rangle \end{align*} $$
고로 좌변과 우변이 같기 위해서는 
$$\sum_{n}^{}\,|n \rangle\langle n|=\mathbf{I}$$
가 성립해야 한다.

 

 

2) 연속적인 고유값에 관한 완전성 관계

 

정리($Q.M$) 2.7
연속적 교유값을 갖는 고유벡터에 대한 완전성 관계는
$$\int_{-\infty}^{\infty}dx \,|x\rangle \langle x|=\mathbf{I}$$

증명) $$|\Psi\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}dx\,c(x)|x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\langle x|\Psi\rangle|x\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}dx\,|x\rangle \langle x|\Psi\rangle$$
그러므로 좌변과 우변기 같기 위해서는
$$\int_{-\infty}^{\infty}dx \,|x\rangle \langle x|=\mathbf{I}$$
가 성립해야 한다.