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브라켓 표기법을 배운 다음 가장 먼저 증명해야 할 것이 완전성 관계입니다.
1. 완전성 관계(Completeness relation)
1) 불연속적 고유값에 관한 완전성 관계
정리(Q.M) 2.6
불연속적인 고유값을 갖는 고유벡터에 대한 완전성 관계는
∑n|n⟩⟨n|=I
증명) Ψ(x,0)=∑ncnψn(x) ⇒|Ψ⟩=∑ncn|n⟩
가 성립하고, cn=⟨n|Ψ⟩ 의 관계를 이용하면,
⟨ϕ|Ψ⟩=∑ncn⟨ϕ|n⟩=∑n⟨n|Ψ⟩⟨ϕ|n⟩=∑n⟨ϕ|n⟩⟨n|Ψ⟩
고로 좌변과 우변이 같기 위해서는
∑n|n⟩⟨n|=I
가 성립해야 한다.
2) 연속적인 고유값에 관한 완전성 관계
정리(Q.M) 2.7
연속적 교유값을 갖는 고유벡터에 대한 완전성 관계는
∫∞−∞dx|x⟩⟨x|=I
증명) |Ψ⟩=∫∞−∞dxc(x)|x⟩=∫∞−∞⟨x|Ψ⟩|x⟩=∫∞−∞dx|x⟩⟨x|Ψ⟩
그러므로 좌변과 우변기 같기 위해서는
∫∞−∞dx|x⟩⟨x|=I
가 성립해야 한다.
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