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양자역학(Quantum Physics)/공리, 해석

양자역학에서 완전성 관계(Completeness relation)

by Gosamy 2022. 8. 9.
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브라켓 표기법을 배운 다음 가장 먼저 증명해야 할 것이 완전성 관계입니다.


1. 완전성 관계(Completeness relation)

 

1) 불연속적 고유값에 관한 완전성 관계

 

정리(Q.M) 2.6
불연속적인 고유값을 갖는 고유벡터에 대한 완전성 관계는
n|nn|=I

 

증명) Ψ(x,0)=ncnψn(x) |Ψ=ncn|n
가 성립하고, cn=n|Ψ 의 관계를 이용하면,
ϕ|Ψ=ncnϕ|n=nn|Ψϕ|n=nϕ|nn|Ψ
고로 좌변과 우변이 같기 위해서는 
n|nn|=I
가 성립해야 한다.

 

 

2) 연속적인 고유값에 관한 완전성 관계

 

정리(Q.M) 2.7
연속적 교유값을 갖는 고유벡터에 대한 완전성 관계는
dx|xx|=I

증명) |Ψ=dxc(x)|x=x|Ψ|x=dx|xx|Ψ
그러므로 좌변과 우변기 같기 위해서는
dx|xx|=I
가 성립해야 한다. 

 

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