고유값 문제와 행렬 성분(The Eigenvalue problem and Matrix components)

학부 선형대수학을 보면 크게 선형변환(Linear transformation) 또는 선형사상(Linear mapping) 을 다루다가 나중에 이를 행렬(matrix)로도 다룰 수 있다고 하여, 두 가지 관점을 체득하게 됩니다. 양자역학에서는 슈뢰딩거 방정식에서 연산자를 먼저 등장시키고 나중에 서서히 그 연산자들을 행렬로 바꿔서 표현할 수 있음을 보여주고 그를 위해서 디랙 표기법이 필요합니다. 

 

참고로 '연산자(operator)'는 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 에서 $W=V$, 곧 $T:V\rightarrow V$ 처럼 정의역과 치역이 같은 벡터공간인 선형변환을 가리킵니다.

 

고유값 문제에 관한 일반적인 수학적 지식은 행렬 관점 이곳과 연산자 관점 이곳을 참조하시기 바랍니다. 양자역학을 제대로 하기 위해서는 두 글에 대한 이해도가 모두 필요합니다.

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1. 고유값 문제와 행렬의 대각화

 

1) 내적과 디랙 표기법으로 도출

 

정리($Q.M$) 2.5

고유값 문제를 디랙 표기법으로 적으면
$$A|n \rangle=n|n \rangle$$ 이고, 이 때 연산자 $A$에 대하여 
$$\langle  m |A|n \rangle=A_{mn}$$ 의 관계가 성립한다. (이것은 아래에서 따로 증명한다.) 여기서 $A_{mn}$ 은 행렬로 표현된 연산자 $A$의 $m$번째 행과 $n$번째 열의 행렬 성분이다. 그러면 고유값 방정식은 아래와 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
$$A_{mn}=n\delta_{mn}$$ 이는 행렬 $A$의 주대각성분은 n이고 나머지 성분은 모두 0이라는 뜻이다. 즉, 고유값 문제를 푼다는 것은 주어진 행렬을 대각화하여 대각행렬로 만든다는 것과 같다.

 

찬찬히 파헤져 봅시다. 슈뢰딩거 방정식에서 고유값 문제는 에르미트 연산자 $A$와 고유값 $\lambda$, 고유벡터 $\psi$ 를 이용해 적을 수 있습니다.

 

$$A\psi = \lambda \psi$$

 

여기서 디랙 표기법을 사용하면, 고유값을 $n$이라 하고 그에 대응되는 고유벡터를 $| n \rangle$ 로 써서 

 

$$A|n \rangle=n|n \rangle$$

 

으로 적을 수 있습니다. 고유벡터 $|n \rangle$은 연산자 $A$를 작용하면 고유값으로 $n$을 주는 함수인 것입니다. 그런데 에르미트 연산자의 고유벡터들은 모두 직교하기 때문에 고유벡터의 직교성(Orthogonality)

 

$$\langle  m |n \rangle=\delta_{mn}$$

 

을 사용하면 

 

$$\langle  m |A|n \rangle=n\langle  m |n \rangle=n\delta_{mn}$$

 

이 되어 결론이 나옵니다.

 

그런데 $\langle  m |A|n \rangle$ 의 값이 왜 $A_{mn}$ 이라는 것인지 무작정 받아들이긴 어려울 수 있습니다. $\langle  m |A|n \rangle$ 에서 벡터와 행렬 연산은 왼쪽에서 오른쪽으로 한다는 점을 감안하면, 브라벡터는 1행 m열 벡터고 행렬 A는 m행 n열, 그리고 켓벡터는 n행 1열이 됩니다. 그러면 연산의 결과는 1행 1열, 즉 숫자 하나만 나오게 되는 것이고 이는 직접 계산을 해보면 정확히 $A$의 m행 n열 성분이라는 것을 알 수 있습니다.

 

게다가 결과적으로 보면 결국 $m=n$ 일 때만 의미가 있습니다. 즉 $A_{mn}$ 이라 적긴 했지만 사실상 $A_{nn}$, 즉 $A_{11},\,A_{22},\,\cdots $ 의 값들만 0이 아니라는 것입니다.

 

 

2) 직접 행렬 계산해서 확인해보기

 

1)의 내용을 보다 풀어 써서 정말 행렬 표현을 했을 때 고유값 문제가 행렬의 대각화 문제로 귀결되는지 점검을 해보려고 합니다. 선형대수학을 이미 공부했다면 이 관계가 자명하다는 것을 알 수 있지만 디랙 표기법을 섞어서 좀 더 양자역학 관점에서 대각행렬을 이끌어 보도록 하겠습니다.

 

고유값 방정식을 다음과 같이 쓸 것인데, 여기서 표기의 혼동이 올 것을 대비하여 고유값은 $\lambda$ 로 쓰고 고유벡터는 $|\psi \rangle$ 로 씁니다.

 

$$A|\psi \rangle = \lambda |\psi \rangle$$

 

그러면 완전성 관계(Completeness relation)에 의하여,

 

$$\langle  i |A|\psi \rangle=\lambda \langle  i |\psi \rangle \;\;\Rightarrow \;\; \sum_{j}^{}\langle  i |A|j \rangle \langle  j |\psi \rangle = \sum_{j}^{}A_{ij}\psi_j=\lambda \psi_i$$

 

화살표 우측에서 첫번째 등호로 넘어갈 때는 $\langle  j |\psi \rangle=\psi_j$ 의 관계가 쓰였습니다. 이건 $|j \rangle$ 가 저번 포스팅에서 말한 기저벡터이기 때문입니다.^[각주:1] 그래서 $\psi$의 $j$번째 성분만 나온 것입니다. 그러면 결과는

 

$$\sum_{j}^{}=A_{ij}\psi_j=\lambda \psi_i$$

 

가 됩니다. 이를 전개해서 쓰면 행렬로 나타낼 수 있어서

 

$$\begin{pmatrix}
A_{11}& \cdots  & A_{1n} \\
A_{21}&\cdots  & A_{2n} \\
\vdots & \ddots  &  \vdots \\
A_{n1} & \cdots & A_{nn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2 \\
\vdots \\ 
\psi_n
\end{pmatrix}= \lambda\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2 \\
\vdots \\ 
\psi_n
\end{pmatrix} \;\;\Leftrightarrow \;\; \left( A-\lambda I \right)x=\mathbf{0}$$

 

이 되지요. 이 때 고유벡터가 $x$이고 고유벡터는 영벡터이면 안되기 때문에 위 식의 non-trivial 해가 존재하려면

 

$$\det \left( A-\lambda I \right)=0$$

 

이 방정식은 '고유방정식(Characteristic equation)'이라고 하며 이 식이 만족되면 행렬 $A$가 '대각화가능(Diagonalizable)'하다는 뜻이지요. 즉 고유값 문제를 해결한다는 것이 행렬을 대각화하는 것과 같은 작업이라는 것을 다시 한번 증명했습니다.

 

 

 

1. 선형대수학에서의 기저가 아니라 브라켓 표기법으로 나타낸 기저임에 주의. [본문으로]