두 연산자의 교환과 동시 고유벡터(Commutable and Simultaneous eigenvector)

양자역학에서 두 연산자에 대한 고유벡터가 동일하다는 것은 대단히 큰 의미를 갖습니다. 이때 교환자(Comutator)의 개념이 중대한 역할을 합니다. 조심할 것은 같은 고유값을 갖는 고유벡터가 존재할 때, 이 고유벡터들은 축퇴(degeneracy)되어있다고 말하는데 지금은 이를 말하는 것이 아니고 고유벡터가 같은 상황에 주목하는 것이며, 이때 고유값이 특별히 꼭 같을 필요는 없습니다. 이 성질은 대단히 중요하고 특히 각운동량에 대한 이론을 전개할 때 수시로 등장하기에 꼭 알고 있어야 합니다.

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1. 연산자의 교환과 동시 고유벡터

 

결과부터 말하자면 두 명제는 필요충분조건입니다. 명제 하나씩 나눠서 증명해 보겠습니다.

 

 

1) 동시 고유벡터를 가지면 두 연산자가 교환한다.

 

정리($Q.M$) 2.7

고유벡터 $|\psi\rangle$ 가 두 연산자 $A,B$ 의 동시 고유벡터(simultaneous eigenvector)라는 것은
$$A|\psi\rangle=\lambda_1|\psi\rangle \\\\ B|\psi\rangle=\lambda_2 |\psi\rangle$$ 임을 뜻한다. 이때 두 연산자는 교환가능(Commutable)하여
$$[A,B]=0$$ 을 만족한다.

증명) $AB$ 와 $BA$ 를 고유벡터에 각각 작용한다.

$$AB|\psi\rangle=\lambda_2A|\psi\rangle=\lambda_2\lambda_1|\psi\rangle \\\\
BA|\psi\rangle=\lambda_1B|\psi\rangle=\lambda_1\lambda_2|\psi\rangle$$
두 식을 빼면, 간단히 $(AB-BA)|\psi\rangle=0$ 을 얻는다. 그런데 고유벡터는 영벡터가 아니기 때문에, 두 연산자는 반드시 교환가능해야 하므로 $[A,B]=0$ 을 얻는다.

 

 

 

2) 두 연산자가 교환하면 동시 고유벡터를 갖는다.

 

정리($Q.M$) 2.8

연산자 $A$가 고유값 $\lambda$ 와 그 때의 고유벡터 $|\psi\rangle$ 를 가져 $A|\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle$ 를 만족한다고 하자. 이때 또다른 연산자 $B$에 대하여
$$\left[ A,B \right]=AB-BA=0$$ 로 두 연산자가 교환하는 경우, 연산자 $B$ 또한 $|\psi\rangle$ 를 고유벡터로 반드시 갖는다. (단, 이 때 고유값이 반드시 $\lambda$ 일 필요는 없다.)
즉 교환가능(Commutable)한 두 연산자는 같은 고유벡터를 갖는다.

증명) 고유값 방정식에 $A$ 대신 $BA$ 또는 $AB$를 넣는다.

$$AB|\psi\rangle=BA|\psi\rangle=B\left( \lambda|\psi\rangle \right)=\lambda\left( B|\psi\rangle \right)$$
좌변과 우변을 비교하면, $B|\psi\rangle$ 는 고유값 $\lambda$ 에 대한 $A$의 고유벡터이다. 그러므로  $B|\psi\rangle$ 와 $|\psi\rangle$ 는 모두 동일한 고유값 $\lambda$ 에 대한 $A$의 고유벡터이다. 정리($L.A$) 5.2 에 의하면 동일한 고유값을 가지는 두 고유벡터는 상수배 차이이므로, 스칼라 $\alpha\in F$ 에 대하여

$$B|\psi\rangle=\alpha |\psi\rangle$$
으로 쓸 수 있다. 즉, 교환 가능한 두 연산자 $A,B$ 는 동일한 고유벡터 $|\psi\rangle$ 를 갖는다.

 

 

여기서 증명 도중 쓰인 정리는 선형대수학의 개념을 약간 빌려 왔다고 할 수 있습니다. 선형대수학 학습이 되어 있지 않더라도 고유값에 관한 기초 지식을 알아야 양자역학을 할 수 있겠지요. 해당 정리는 고유값 문제에 대한 기본적 지식만 있더라도 손쉽게 증명할 수 있으니 참고하시기 바랍니다.