교환자과 교환관계(Commutator)

교환자는 연산자 또는 행렬에 대해 사용할 수 있는 개념입니다.

 

두 행렬 또는 연산자 $A,B$ 에 대하여 '교환자(commutator)'는
$$\left[ A,B \right]=AB-BA$$ 로 정의한다. 만일 $\left[ A,B \right]=0$, 즉 $AB=BA$ 이면 두 행렬 또는 연산자는 '교환한다(commute)'고 한다.

 

교환자는 어떤 상황에서 사용할까요? 우선 그 자체로 간단하게는 교환법칙의 성립 여부를 확인할 수 있습니다. 행렬이나 연산자는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않습니다. 연산자(operator)는 선형함수의 특수한 경우인데, 간단히 말하자면 정의역과 공역이 같은 함수라고 생각하시면 됩니다. 함수의 합성 과정에서도 $f\dot g$ 와 $g\dot f$ 가 일반적으로 같지는 않지요. 교환자를 계산하였을 때 값이 0이면 교환법칙이 성립한다는 뜻입니다.

 

하지만 교환자를 통해 교환법칙의 성립여부를 결정할 수 있는 것은 아닙니다. 그저 교환자는 계산의 방식 중 하나이기 때문입니다. 구체적으로 교환자는 양자역학에서 두 연산자간의 관계를 살피는데 사용되며, 고유값 문제에서는 동시고유벡터 개념과 연결되어 있습니다. 물리학적으로는 둘 다 중요하고, 수학적으로는 후자의 용도가 선형대수학에서 등장함을 기억해 주시면 됩니다.