론스키안 행렬식 (Wronskian determinant)

벡터공간의 조건을 만족하는 대상이 일반 함수가 될 수도 있습니다. 일반 함수들 사이에서 선형독립 관계를 쉽게 확인할 수 있는 방법이 바로 오늘 할 론스키안을 이용하는 것입니다. 이것은 행렬식의 일종이긴 한데, 선형대수보다는 미분방정식에서 해 사이의 관계를 유의깊게 살펴볼 때 좀 더 애용하는 도구입니다. 물론 여기서도, 함수들이 선형결합 되어 있을 때 그 계수들이 오로지 모두 0인 자명해(trivial solution)만을 가져야 선형결합 = 0 인 식을 만족한다면 선형독립이라는 기본 개념이 동일하게 적용됩니다.

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1. 정의

 

다음과 같이 서로 다른 $n$개의 함수를 행에 배치하고 그들의 $n-1$계 도함수를 차례대로 열에 배열한 행렬의 행렬식을 '론스키안 행렬식(Wronskian determinant)' 또는 간단히 론스키안이라 부른다.
$$W=\begin{vmatrix}
f_1(x) &f_2(x)  &\cdots  &f_n(x) \\ 
f'_1(x) & f'_2(x)  & \cdots &f'_n(x) \\ 
\vdots & \vdots &  & \vdots \\ 
f_1^{(n-1)}(x) &f_2^{(n-1)}(x)  & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)
\end{vmatrix}$$

 

이를 통해 선형독립을 알아내는 방법은 다음과 같습니다.

 

정리($L.A$) 3.5

Wronskian 행렬식 $W\neq 0$이면, $n-1$번 미분가능한 함수 $f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_n(x)$ 는 선형독립이다.

 

증명에 앞서 주의해야 할 점을 말씀드리면 이 명제를 반대로 만들어 $W= 0$일 때 저 함수들이 선형종속이라고 판단할 수는 없습니다. Wronskian 은 0이 아닐 때 저들이 선형독립이라는 용도로만 사용하면 됩니다.

 

증명)  함수들의 선형결합 식 $c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots c_nf_n(x)=0$ 의 양변을 $n-1$번 미분한다.

$$\begin{matrix}

c_1f'_1(x)+c_2f'_2(x)+\cdots c_nf'_n(x)=0\\\\
c_1f''_1(x)+c_2f''_2(x)+\cdots c_nf''_n(x)=0\\\\
\vdots
\\\\
c_1f^{n-1}_1(x)+c_2f^{n-1}_2(x)+\cdots c_nf^{n-1}_n(x)=0

\end{matrix} $$

이것을 행렬로 표현하면,

$$\begin{pmatrix}
f_1 &f_2  &\cdots  &f_n \\ 
f'_1 &f'_2  & \cdots & f'_n\\ 
\vdots & \vdots &\cdots  &\vdots \\ 
f^{n-1}_1 &f^{n-1}_2  &\cdots  &f^{n-1}_n 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
c_1\\ 
c_2\\ 
\vdots\\ 
c_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\ 
0\\ 
\vdots\\ 
0
\end{pmatrix}$$

이것의 좌변의 행렬을 각각 $A,C$라 하자. $AC=O$ 에서 $A$의 행렬식 $\mathrm{det}A\neq 0$ 이면 $A$의 역행렬이 존재하여, 양변에 $A^{-1}$을 곱하면

$$\begin{pmatrix}
c_1\\ 
c_2\\ 
\vdots\\ 
c_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\ 
0\\ 
\vdots\\ 
0
\end{pmatrix}$$

가 된다. 이것은 $c_1f_1(x)+c_2f_2(x)+\cdots c_nf_n(x)=0$ 을 만족하는 행렬 $C$의 해가 오로지 $c_1=c_2= \cdots =c_n=0$ 인 자명해(trivial solution) 뿐임을 뜻하므로 함수 $f_1(x),f_2(x)\cdots f_n(x)$ 는 선형독립이다.