반응형 양자역학(Quantum Physics)/1차원 문제3 자유입자와 운동량 연산자의 고유함수(Free particle and eigenfunction of momentum operator) 1차원 무한 퍼텐셜 우물을 다루었을 때는 위치 공간에서 해밀토니안 연산자에 대한 고유값 방정식을 풀었습니다. 그 결과로 계의 에너지를 얻었지요. 오늘은 이제 위치 공간에서 운동량 연산자를 적용하여 고유함수의 형태가 어떠한지를 알아보려고 하며, 그 결과로 운동량을 얻게 될 것입니다. $$\hat{p}v(x)=pv(x)$$1. 운동량 파동함수 다루기 정리($Q.M$) 3.3) 운동량 연산자의 고유함수운동량 연산자에 관한 고유값 방정식 $\hat{p}v(x)=pv(x)$ 을 (위치 공간에서) 풀게 되면 그 해는$$\hat{p}v(x)=pv(x)\;\;\Longrightarrow \;\;v(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\cdot e^{\displaystyle \f.. 2025. 3. 16. 운동량 공간과 위치 공간의 관계 및 플랑셰렐의 정리(Relations between momentum space and coordinate space with Plancherel theorem ) 푸리에 변환과 그것의 역변환에 의하면 파동함수는 보통 위치와 시간에 관한 함수로 쓸 수 있지만, 운동량과 에너지에 관한 함수로 적을 수도 있습니다. 1. 디랙 델타 함수 우선 디랙 델타 함수의 기본 정의와, 그로부터 우리가 보여야 할 공식을 소개하겠습니다. 정의($M.P$)디랙 델타 함수는 다음을 만족하는 함수 $\delta (x-a)$ 로 정의한다. 사실 이것은 고전적인 의미의 함수가 아니라 분포에 해당하며, 셋은 모두 동치다.1) 첨탑형$$\delta (x-t)= \left\{ \begin{array}{cl}&0 & (x\neq t) \\& \infty & (x=t)\end{array} \right.$$ 2) 무한대 적분형$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-t)dx=1$.. 2025. 3. 16. 1차원 무한 퍼텐셜 우물(1st-dimension infinite potential well) 1차원 슈뢰딩거 방정식을 이용해서 퍼텐셜 $V(x)$ 의 형태가 가지각색으로 주어졌을 때 해를 찾아 보도록 합시다. 이제부터는 미분방정식이 본격적으로 필요한 시점입니다. 1. 1차원 무한 퍼텐셜 우물 정리($Q.M$) 3.1) 1-dimension Infinite potential well1차원 무한 퍼텐셜 우물에서 고유함수는$$u_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left( \frac{n\pi x}{a} \right)$$ 으로 주어진다. 따라서 슈뢰딩거 방정식의 일반해는$$\Psi(x,t)=\sum_n c_n\left( \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left( \frac{n\pi x}{a} \right) \right)\cdot e^{-\displaystyle \frac{i.. 2025. 3. 7. 이전 1 다음 반응형
