반응형 선형대수학(Linear Algebra)/고유치 문제6 특성다항식(Characteristic polynomial) 고유값 문제를 해결하기 위해서는 꼭 특성다항식을 풀 수 있어야 합니다. 그런데 특성다항식이 왜 0이 되어야 하는지, 곧 행렬식이 왜 0이 되어야 하는지를 이해하기 위해서는 행렬의 가역성 또는 선형변환의 영공간에 관한 지식이 반드시 필요합니다. 무작정 외우지 말고 그에 대해서 모두 정리를 해 두었으니 차근차근 이해를 해보시기 바랍니다. 1. 특성다항식 1) 정의와 기본 정리 정의($L.A$) 5.3 유한차원 벡터공간 $V$ 위에서 정의된 선형연산자 $T$ 에 대해 $V$의 임의의 순서기저 $\beta$ 를 택하자. $\det (T)$ 로 표기하는 $T$ 의 행렬식이란 $T$ 의 순서기저에 대한 행렬표현 $[T]_{\beta}:=A$ 의 행렬식 $\det (A)$ 로 정의한다. 정리($L.A$) 5.12 유.. 2023. 2. 5. 선형연산자로 고유값 문제를 해결하기(Eigenvalue problem with linear operator) 여태까지 고유값 문제에 관한 글들은 주로 간단한 벡터(열벡터, 행벡터)와 행렬의 관점에서 설명을 했습니다. 대부분의 공업수학과 수리물리학에서는 그 정도에 관한 지식으로 고유값 문제를 편하게 해결할 수 있습니다. 조금 더 추상적인 대수학적 툴과, 양자역학에서 드러나는 연산자 개념을 통하여 고유값 문제를 해결하려면 선형변환의 관점에서 고유값 문제를 구체화하는 작업이 필요합니다. 이제 연산자를 통해 고유값 문제를 다루는 직접적인 방법을 차근차근 소개하겠습니다. 참고로 수학에서 연산자(operator)란 선형변환 중 정의역과 공역의 벡터공간이 동일한 것을 말합니다. 1. 대각화(Diagonalization) 1) 대각화가능 정의($L.A$) 5.1 유한차원 선형연산자 $T:V\rightarrow V$ 가 대각화.. 2023. 2. 3. 행렬의 대각화와 고유값 문제(Diagonalization of matrix with Eigenvalue problem) 고유값 문제의 기본적인 해석과 대각행렬 및 대각화의 뜻, 닮음행렬의 개념을 장착하면 이제 대각화와 고유값 문제의 연관성을 제대로 파해쳐 볼 시간입니다. 이들은 사실상 동치의 관계이 있다는 것을 알게 될 것입니다. 때문에 오늘 증명할 세 정리는 고유값 문제에서 가장 중요한 정리들이며 마지막 정리에 별표를 5개 박으시기 바랍니다. 1) 대각화가능과 고유값 정리($L.A$) 5.8 $A\in M_n(F)$ 가 대각화가능이면 $A$는 중복을 허락하여 $n$개의 고유값 $\lambda_1,\cdots ,\lambda_n \in F$ 를 가지며, $A$의 고유다항식은 $\left| tI_n-A \right|=\left( t-\lambda_1 \right)\left( t-\lambda_2 \right)\cdot\, .. 2022. 3. 14. 고유공간(Eigenspace) 고유벡터로 이루어진 공간을 고유공간이라 정의합니다. 고유공간은 고유값 문제를 행렬로 처리하는 관점에서 벡터의 기저가 존재한다는 관점, 즉 선형변환의 도구로 사용할 때 고유값 문제를 다룰 때 필요한 개념입니다. 선형변환에서는 주어진 벡터공간이 있어야 정의가 가능하기 때문입니다. 1. 고유공간 1) 정의 정의($L.A$) 5-5) 고유공간 $A\in M_n(F)$ 의 고유값 $\lambda\in F$ 에 대해 고유벡터와 영벡터로 이루어진 집합 $$\begin{align*} E_{\lambda}=E(\lambda)&=\left\{ \mathbf{x}\in F^n \mid A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x} \right\} \\\\&= N\left( T-\lambda I_V \right) \.. 2022. 3. 8. 대각행렬과 행렬의 닮음 (Diagonal matrix and Similar of matrix) 고유값 문제는 행렬의 대각화(Diagonalization)과 아주 밀접한 연관성을 갖습니다. 대각화를 하려면 고유값 문제를 풀어야 하고, 그 때 발생하는 고유값과 고유벡터가 특별한 성질을 만족해야 합니다. 그리고 여기서 행렬 사이의 닮음 관계도 등장합니다. 대각화란 행렬을 대각행렬로 만든다는 것인데, 이에 대해 간단히 짚어보고 가겠습니다. 1. 대각행렬(Diagonal matrix) 1) 정의 정의($L.A$) 5-2) 대각행렬 $M_n(F)$ 에서 주대각성분은 $\lambda_1, \cdots \lambda_n$ 이고 나머지 모든 성분들은 0인 행렬을 '대각행렬(Diagonal matrix)' 이라 하고 $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots ,\lambda_n)$ 으로 나타낸다... 2022. 3. 8. 고유값과 고유벡터 (Eigenvalue and Eigenvector) 고유값 문제는 행렬과 벡터의 곱이 그 벡터의 실수배와 등호로 이어져 있는 간단한 형태를 띠고 있습니다. 주저리 첨언할 필요도 없이 고유값 문제는 굳이 선형대수학을 따로 공부하지 않아도 자연계 학생들이 전공과목에서 거의 필연적으로 마주하는 문제입니다. 특히 물리학에서는 고전역학에서 연성진동(Coupled Oscillation)이나 관성 텐서의 대각화를 할 때 등장하고, 양자역학에서야 말할 것도 없습니다. 이처럼 공학과 물리에서 매우 폭넓게 응용되기 때문에 공대생들에게 꼭 필요한 도구입니다. 이 경우 99%의 확률로 고유값 문제를 행렬의 관점에서 다가가게 됩니다. 하지만 행렬과 선형변환은 동형이고, 따라서 고유값 문제를 선형변환스럽게 다룰 수도 있습니다. 그렇게 되면 의미 해석이 조금씩 달라지고 약간 더 어.. 2022. 1. 5. 이전 1 다음 반응형