고유공간(Eigenspace)

고유벡터로 이루어진 공간을 고유공간이라 정의합니다. 고유공간은 고유값 문제를 행렬로 처리하는 관점에서 벡터의 기저가 존재한다는 관점, 즉 선형변환의 도구로 사용할 때 고유값 문제를 다룰 때 필요한 개념입니다. 선형변환에서는 주어진 벡터공간이 있어야 정의가 가능하기 때문입니다.

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1. 고유공간

 

1) 정의

 

정의($L.A$) 5-5) 고유공간
$A\in M_n(F)$ 의 고유값 $\lambda\in F$ 에 대해 고유벡터와 영벡터로 이루어진 집합

$$\begin{align*} E_{\lambda}=E(\lambda)&=\left\{ \mathbf{x}\in F^n \mid A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x} \right\} \\\\&= N\left( T-\lambda I_V \right) \end{align*}$$
를 $A$에 대한 $\lambda$ 의 '고유공간(eigenvalue)'라 한다. ($\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 도 포함한다.)

 

고유공간은 영벡터도 포함합니다. 즉 방정식 $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ 의 자명해도 들어가 있습니다. 그렇게 정의하는 이유는 다음 정리를 만족하기 위해서라고 볼 수 있습니다. 벡터공간으로 다뤄야 하기 때문이죠.

 

정의식에서 $N\left( T-\lambda I_V \right)$ 는 영공간(Nullspace)입니다. 선형변환의 관점에서 고유공간의 표현법이라 보시면 될 것 같습니다.

 

 

정리($L.A$) 5.7

$\lambda\in F$ 가 $A\in M_n(F)$ 의 고유값이면 $\lambda$의 고유공간 $E(\lambda)$ 는 $F^n$ 의 부분공간(Subspace)이다.

 

증명) $x,y\in E(\lambda),\,\alpha\in F$ 에 대하여

1) $\mathbf{0}_{E(\lambda)}\in E(\lambda)$
2) 정리($L.A$) 5.2 에 의하여 $\alpha \lambda\in E(\lambda)$
3) $A(x+y)=Ax+Ay=\lambda x+\lambda y=\lambda(x+y)$ 이므로 $x+y\in E(\lambda)$

그러므로 정리($L.A$) 1.2 에 의하여 $E(\lambda)$ 는 $F^n$ 의 (부분집합이니) 부분공간이다.

 

 

2) 고유공간의 차원

 

한편, 뒷부분에서 고유값 문제를 계속 해결해나가다보면 특성다항식에서 발생하는 어떤 숫자값에 특별한 의미를 부여하게 됩니다. 이 특별한 숫자는 두개가 있는데 그 중 하나는 바로 이 고유공간의 차원입니다.

 

정의($L.A$) 5-6) 기하적 중복도
고유공간의 차원을
$$\mathrm{dim}\left( E(\lambda) \right)=\mathrm{dim}\left( E_{\lambda} \right)\equiv r$$ 과 같이 $r$로 나타내고, 이를 주어진 고유값 $\lambda$ 에 대한 '기하적 중복도(geometric multiplicity)'라 부른다.