대각행렬과 행렬의 닮음 (Diagonal matrix and Similar of matrix)

고유값 문제는 행렬의 대각화(Diagonalization)과 아주 밀접한 연관성을 갖습니다. 대각화를 하려면 고유값 문제를 풀어야 하고, 그 때 발생하는 고유값과 고유벡터가 특별한 성질을 만족해야 합니다. 그리고 여기서 행렬 사이의 닮음 관계도 등장합니다. 대각화란 행렬을 대각행렬로 만든다는 것인데, 이에 대해 간단히 짚어보고 가겠습니다.

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1. 대각행렬(Diagonal matrix)

 

1) 정의

 

정의($L.A$) 5-2) 대각행렬
$M_n(F)$ 에서 주대각성분은 $\lambda_1, \cdots \lambda_n$ 이고 나머지 모든 성분들은 0인 행렬을 '대각행렬(Diagonal matrix)' 이라 하고 $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots ,\lambda_n)$ 으로 나타낸다.

$$D=\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_2 &\cdots  &0  \\
 \vdots&\vdots  &  & \vdots \\
 0& 0 & \cdots & \lambda_n
\end{pmatrix}$$

 

주대각성분은 행번호와 열번호가 같은 위치에 있는 성분입니다. 이 값들이 모두 1이면 항등행렬이 되겠지요? 그러니 항등행렬은 대각행렬의 특수한 예라고 볼 수 있습니다.

 

정의($L.A$) 5-3) 대각화가능
$A\in M_n(F)$ 일 때 행렬 $P^{-1}AP$ 가 대각행렬이 되게 하는 가역행렬 $P\in M_n(F)$ 가 존재하면 $A$는 '대각화가능(diagonalizable)' 이라 하고, 그렇지 않으면 $A$는 '대각화불가능(non-diagonalizable)' 이라 한다.

 

어떤 행렬 $A$를 대각화한다는 것은 양쪽에 $P$의 역행렬과 $P$를 곱했을 때 대각행렬이 되도록 만든다는 것입니다. 이런 $P$가 존재할 수도 있고, 존재하지 않을 수도 있겠죠. $P$의 존재성을 찾는 방법이 고유값 문제이고 차후에 천천히 소개될 것이니 조금 미뤄두고, 대각화는 어떤 장점이 있길래 시행하는 것일까요?

 

순수 행렬 관점에서 행렬을 대각화하는 것의 장점은, 행렬의 거듭제곱 $A^k\;\;(k\geq 1)$ 의 값을 쉽게 구할 수 있기 때문입니다. 만일 가역행렬 $P$에 대하여

 

$$A=PDP^{-1}\;,\; D=P^{-1}AP$$
가 성립하는 경우, 

$$A=PDP^{-1}\;,\; D=P^{-1}AP \\\\ A^2=\left( PDP^{-1} \right)\left( PDP^{-1} \right)=PD^2P^{-1}$$
으로 $A^2$ 을 손쉽게 계산할 수 있습니다. 이는 $k$의 값이 아무리 커지더라도 $A^k$ 을 계산할 때 가운데 낀 $D^k$ 만 처리하면 됩니다. 그리고 이 $D^k$ 대각행렬의 거듭제곱 행렬은 주대각성분만 거듭제곱을 하기 때문에 산수가 그리 복잡하지 않게 됩니다. 따라서

 

$$A^k=PD^kP^{-1}$$
으로 행렬의 거듭제곱 계산이 수월해집니다.

 

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예제 1) 행렬 $P=\begin{pmatrix}
1 &1  \\
1 & 2
\end{pmatrix}$에 대하여 $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
 -2& 4
\end{pmatrix}$ 일 때, $A^{100}$ 을 계산하여라.

 

 

$P$ 의 역행렬을 구하면 $P^{-1}=\begin{pmatrix}
2 &-1  \\
-1 & 1
\end{pmatrix}$ 임을 쉽게 얻습니다. 대각행렬 $D$를 먼저 계산하면

 

$$D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
 -2& 4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 &3 
\end{pmatrix}$$
그러므로

$$A^{100}=PD^{100}P^{-1}=\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2^{100} & 0 \\
0 & 3^{100}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2^{101}-3^{100} & -2^{100}+3^{100} \\
2^{101}-2\cdot 3^{100} &-2^{100}+2\cdot 3^{100} 
\end{pmatrix}$$

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2. 행렬의 닮음(Similar)

 

1) 정의

 

닮음은 다음과 같이 정의하고, 대각행렬의 꼴과 유사하긴 하지만 닮음에서 사이에 낀 행렬이 대각행렬이어야 하는 것은 아닙니다.

 

정의($L.A$) 5-4) 행렬의 닮음
$A,B\in M_(F)$ 에 대해, 가역행렬 $P\in M_n(F)$ 가 존재하여
$$B=P^{-1}AP$$ 를 만족하면 $A$와 $B$는 서로 '닮음(similar)' 이라 하고 $A\sim B$ 로 나타낸다.

 

수학에서 닮음은 여러 분야에 존재하지만 행렬 사이에서도 닮음 관계가 존재합니다.

 

그리고 행렬의 닮음 관계를 나타낼 때, 여기서 쓰는 기호 '~'는 수학에서 자주 등장하는데 명제나 조건에서는 'not'의 의미를 갖습니다. 그 까닭은 'N'자를 길게 늘여 쓴 모양이랑 비슷하기 때문입니다..

 

또 하나는 집합론에서 처음 배우는 편인데, 집합론에서 '~' 기호는 관계(Relation)을 뜻합니다. 즉 어떤 함수나 집합 사이에서 A~B 라고 하면 A,B 사이에 정해진 관계를 가리키는 것입니다. 관계는 그냥 'R'로 써서 ARB 등으로 나타내기도 하지만 여전히 '~' 기호를 많이 씁니다.

 

위와 같이 정의한 행렬의 닮음관계는, 놀랍게도 동치관계입니다.

 

정리($L.A$) 5.5

$M_n(F)$ 에서 닮음은 동치관계(equivalent realtion)이다. 즉 임의의 $A,B,C\in M_n(F)$ 에 대해 다음이 성립한다.
① 반사율(reflexive) : $A\sim A$
② 대칭성(symmetric) : $A\sim B$ 이면 $B\sim A$ 이다. 
③ 추이성(transitive) : $A\sim B$ 이고 $B\sim C$ 이면 $A\sim C$ 이다.

 

증명) ① $A=P^{-1}AP$ 이면 $PAP^{-1}=A=(P^{-1})^{-1}A(P^{-1})=RAR^{-1}$ 으로 가역행렬 $R$이 존재한다. 따라서 $A\sim A$ 이다.

② $A\sim B$ 이면 $B=P^{-1}AP$ 이고 $A=PBP^{-1} = (P^{-1})^{-1}B(P^{-1})$ 이다. $P$가 가역이므로 $P^{-1}$ 도 가역에서 $A=R^{-1}BR$ 을 만족하는 가역행렬 $R$이 존재한다. 따라서 $B\sim A$ 이다.

③ $A\sim B$ 이고 $B\sim C$ 이면 $B=P^{-1}AP,\;C=Q^{-1}BQ$ 인 가역행렬 $P,Q$ 가 존재한다. $C=Q^{-1}P^{-1}APQ$ 가 성립하는데 $PQ$ 및 $Q^{-1}P^{-1}$  은 가역행렬끼리의 곱이고 이는 결국 기본행렬끼리의 곱이니 가역이다. 따라서 $C=R^{-1}AR\;\;(R=PQ)$ 인 가역행렬 $R$이 존재하므로 $A\sim C$ 이다.
이상에서 $\sim$ 은 동치관계(equivalent realtion)이다.

 

 

2) 닮음행렬끼리의 고유다항식과 고유값

 

닮음 관계에서는 많은 닮은 특징들을 갖습니다. 아래 정리는 닮음 행렬끼리 고유다항식이 같고, 동일한 고유값을 가짐을 뜻합니다.

 

정리($L.A$) 5.6

$A,B\in M_n(F)$ 가 닮음 행렬이면 이들의 고유다항식 $\left| tI_n-A \right|$ 는 같다. 따라서 $A,B$는 중복을 허락하여 동일한 고유값을 갖는다.

 

증명) 어떤 행렬 $D$가 대각행렬이면 $D=P^{-1}DP$ 가 성립함을 활용하자.

$$\begin{align*}

\det\left( tI_n-B \right)&=\left| tI_n-P^{-1}AP \right|=\left| P^{-1}\left( tI_n \right)P-P^{-1}AP \right|
\\\\& =\left| P^{-1}\left( tI_n-A \right)P \right| = \left| P^{-1} \right|\left| tI_n-A \right|\left| P \right|
\\\\&=\left| P \right|^{-1}\left| P \right|\left| tI_n-A \right|=\left| tI_n-A \right|
\end{align*}$$

 

 

[참고 문헌]

선형대수학, 청문각, 강경태 및 송석준 지음