반응형 미적분학(Calculus)/급수13 테일러 급수와 해석함수 (Analytic function with Taylor series) 해석함수는 과연 해석학(解析學, Analysis)의 보배이며, 1등급 최정예 함수라 할 수 있습니다. 해석학이 무엇일까요? 그 뜻은 의외로 영단어보다 한자를 보는 것이 더 좋은데, 쪼개어(析) 푼다(解)를 말하는 것으로 대상을 아주 잘게 나누어 관찰하겠다는 뜻이기에 극한, 미분, 급수 등의 주제를 다루는 학문입니다. 고등학교 수학과 대학 수학의 거대한 이질성을 장식하는 첫 관문이 바로 대수학, 해석학에 해당합니다. 해석학은 실수까지를 다루느냐, 복소수까지 다루느냐에 따라서 구별할 수 있는데, 일반적으로 복소해석학은 비단 해석학적으로 중요한 것 뿐만이 아니라 복소적분의 테크닉이 전반적인 실함수의 적분에 유용하게 쓰이기 때문에 실해석에 비해 타과에서도 쓸모가 많은 것과 달리, 실해석학은 수학과에서만 배우면서.. 2021. 1. 17. 테일러 정리와 테일러 공식 (Taylor's Theorem and Taylor's Formula) 저번 포스팅에서 했던 멱급수와 테일러 급수에 관한 논쟁, 테일러 전개를 통해 급수를 얻을 조건에 관한 개념들을 이해했다면 실은 절반 정도는 성공했다고 보면 됩니다. 이는 테일러 정리와 공식을 통해 좀 더 견고한 이론을 세워 나갈 수 있는 준비 체계를 모두 갖췄다고 보면 됩니다. 오늘까지만 정복하면 하나 둘 씩 의문증에 대한 답을 할 수 있으리라 믿습니다. 1. 테일러 정리 정리($CC$) 2.3) 테일러 정리(Taylor's Theorem) 함수 $f$ 에 대하여 $f,f',f'',\cdots , f^{(n)}$ 이 $x=a$ 를 포함하는 닫힌구간 $\left [ a,b \right ]$ 에서 연속이고 열린구간 $\left ( a,b \right )$ 에서 무한 번 미분가능할 때, 다음을 만족하는 수 $.. 2021. 1. 17. 테일러 급수와 테일러 전개 완전정복 (Taylor Series and Taylor expansion) * 이 글은 1탄이며, 이후 2탄과 이어집니다. * 이 글에 대한 방문객이 급증하고 있는데, 단순히 테일러 공식을 찾고 싶으시면 스크롤을 조금만 내려 공식을 확인할 수 있습니다. 하지만 이 글의 목적은 테일러 급수 및 전개를 이해하는 것이라 충분한 시간과 노력 없이 얼렁뚱땅 읽을 필요는 없습니다. * 지금부터 시작할 테일러 급수에 관한 논리 전개는 상당히 어렵습니다. 고난도 수학을 깨부수는 유일한 방법은 오로지 '끝까지 포기하지 않고 고민하기'라는 스킬을 장착하는 것입니다. 그렇지 않으면 이 글은 쓸모가 없음을 반드시 명심하고 들어오시길 권하겠습니다. 1. Introduction 대학에 입학한 자연계 학생이면 아주 적은 예외를 논외하고 반드시 미적분학을 1학년 때 수강해야 합니다. 미적분학을 처음 배우게.. 2021. 1. 16. 멱급수의 연산 및 항별 미분과 적분에 관한 성질 (Operations on Power seires, Term-by-term Differentiation and Integration) 여태까지 다뤘던 멱급수 이론은 수렴판정법에 관한 것이였습니다. 그래서 이것만 배우면 마치 앞으로 멱급수에 대한 공부는 주어진 급수가 발산하는지, 수렴하는지를 따지기 위한 것이라고 착각할 수가 있는데, 멱급수는 사실 테일러 정리와 미분방정식의 해법에서 사용하기 위함이 주된 목적입니다. 테일러 급수와 테일러 정리를 위해서 멱급수 간의 연산 규칙이 성립함을 알아야 하므로 간단히 짚고 넘어가봅시다. 오늘 할 내용들은 지극히 당연한 계산들이며 어려울 것은 없습니다. 1. 멱급수의 덧셈과 뺄셈 서로 다른 두 멱급수를 항별로 더하거나 뺀다고 생각해봅시다. 두 급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\;,\;\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_n$ 에 대하여 이 .. 2021. 1. 16. 멱급수, 거듭제곱급수와 수렴집합 (Power series and its Convergence Test) 가장 중요한 급수는 결국 멱급수이고, 멱급수는 수학의 타 분야에 이리저리 그물망을 펼쳐 넓게 연결되어 있습니다. 미적분학에서만 놓고 보더라도, 멱급수는 테일러급수와 테일러전개를 위한 도구로서의 의미가 짙습니다. 나아가 고급 수학으로 접어들게 되면 어렵고 복잡한 미분방정식을 풀 때 멱급수 기반 풀이인 프로베니우스의 방법을 사용할 때 급수가 주력 도구이기 때문에 미적분학을 공부할 때 급수 파트는 벡터장 파트와 더불어 반드시 머릿속에 장착해 두어야 합니다. 1. 멱급수란 무엇인가? 변수 $x$에 대한 거듭제곱들의 합으로 구성된 무한급수를 멱급수 또는 거듭제곱급수(power series)라고 한다. $$\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=c_0+c_1x+\cdots +c_nx^n+\cdots$$ $$.. 2021. 1. 16. 비판정법, 절대 비판정법 (Ratio Test, Absolute Ration Test) 미적분학에 등장하는 무한급수 수렴 판정법에 여러가지 종류가 있지만, 저에게 그 중 가장 많이 쓰이고 으뜸인 것을 뽑으라고 하면 바로 이 비판정법을 선택할 것입니다. 비판정법은 판정불능한 경우가 발생하지만, 멱급수(power series)의 수렴과 발산을 따지는데 애용되는 도구로서 중요도가 매우 높습니다. 미적분학 급수 파트를 떠나 해석학이나 고급 미적분을 할 때 급수가 빈번하게 등장하고, 그 때 잊을 뻔하면 이 비판정법을 사용해서 수렴 여부를 판단할 때가 많습니다. 1. 비판정법 (Ratio Test) 정리($CC$) 1.9 급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ 에 대하여 $\lim_{n\rightarrow \infty}\displaystyle\frac{a_{n+1.. 2021. 1. 16. 극한 비교 판정법 (Limit Comparison Test) 극한비교판정법은 두 수열 $\left \{ a_n \right \},\left \{ b_n \right \}$ 의 비의 극한값이 어떤 값을 갖는지에 따라 두 급수의 수렴/발산 여부를 결정할 수 있는 판정법입니다. 이 판정법은 주로 주어진 급수가 $n$의 상수승만을 포함하고 있을 때 전략적으로 사용할 수 있는 방법입니다. 정리($CC$) 1.8 $a_n\geq 0\;,\;b_n\geq 0$ 이고 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=L$ 이라 하자. ① $0 2021. 1. 16. 비교판정법 (Comparison Test) 급수의 수렴 판정에 있어서 이제부터 쓸모있는 몇가지 판정법들을 소개할 것입니다. 이러한 판정법들은 실은 급수 자체의 수렴 여부를 알고 싶어서 사용하는 경우도 있겠지만, 궁극적으로는 멱급수의 판정을 위해서 학습하는 것이고 이는 다시 테일러 전개를 배우기 위한 밑바탕이 되는 양념들입니다. 그리하여 급수단원은 미적분학과 해석학을 자연스럽게 연결해주는 징검다리 역할을 하여, 앞으로 급수 자체에 대한 판정보다는 테일러 전개, 또 복소해석으로 넘어가서 해석함수에 대한 논의를 완벽하게 건설하기 위한 기초작업에 해당합니다. 계속하여 고급의 수학적 도구를 다루는 입장이라면 미적분학에서 급수 판정을 제대로 끝마치고 넘어가야 합니다. 나중에 다른 과목에서 배울 기회가 전무하기 때문입니다. 1. 급수의 지배 (Dominate.. 2021. 1. 11. 합의 유계 판정법 (Bounded Sum Test) 앞으로 급수를 구성하는 항들은 음수가 아니라고 규정하고 여러 양수인 항들로 구성된 급수들의 특징 및 판정법을 다루게 될 것입니다. 이러한 급수들을 '양항급수(positive series)'라고 부릅니다. 정리($CC$) 1.6 양항급수 $\sum a_k$ 가 수렴할 필요충분조건은 그 부분합 수열이 위로 유계인 것이다. $$\sum a_k=\alpha \;\;\Leftrightarrow \;\; \left | S_n \right |\leq C \;\;\;(\alpha\leq C)$$ 증명) $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$ 이라 하면 $a_k\geq 0$ 이므로 $S_n\leq S_{n+1}$ 이다. 곧 $S_n$ 은 단조증가수열이므로 단조수렴정리에 의하여 어떤 수 $U$가 있어서 부분합 수열.. 2021. 1. 10. 일반항 판정법, n항 판정법 (nth term Test) 1. 무한급수의 수렴과 발산 '무한급수(infinite series)'는 어떤 수열의 항들을 제 1항부터 2항, 3항, ... 이렇게 쭉쭉 무한히 실제로 더하는 행위가 아닙니다. $$a_1+a_2+a_3+\cdots \not\equiv \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$ 그러면 무엇이냐? 무한급수의 정의는 n항까지의 합인 부분합에 대한 극한값을 가리키는 것입니다. $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n$$ 좌변에 대한 시그마 전개를 하면, 마치 1항부터 n항, 그리고 그 이상으로 무한히 많은 항을 계속 더해 나가야 하는 것이라 착각할 수 있으나, 그렇지 않고 n항까지의 합인 Sn의 극한값이 무한급수의 정의입니다. 고로 수열 Sn 이 .. 2020. 12. 29. 단조수렴정리, 단조수열정리 (Monotonic sequence Theorem) 무한급수의 수렴 판정을 하기에 앞서 수열의 극한의 수렴 여부에 관한 유용한 정리가 하나 있습니다. 원래 수열의 극한 수렴은 그 수열이 어떤 특징을 가지고 있느냐에 따라 사용할 수 있는 효율적인 방법이 존재하는 편입니다. 예컨대 등비수열은 공비가 -1보다 크고 1보다 같거나 작으면 바로 수렴하는지 여부를 알 수 있습니다. 또, 샌드위치 정리라 부리는 조임정리를 이용해서 몇가지 수열의 수렴여부를 판단할 수 있으며, 엡실론-델타 논법으로 정의된 수열의 수렴 정의 공식을 써도 될 때가 있지요. 지금 말하려는 수열의 수렴에 관한 정리는 해당 수열이 단조수열일 때를 말하는 것입니다. '단조수열(Monotonic sequences)'이란 감소하지 않는 수열 혹은 증가하지 않는 수열을 말합니다. 단조증가수열 =.. 2020. 12. 29. 급수에서의 유계 (Bounded) 수열의 극한을 정의할 때 유계의 개념을 활용하는 것이 효율적이고 편합니다. 유계라는 말을 아마 인터넷에서 찾아보시면, 유계를 정의하기 전에 꽤나 복잡한 수학용어들이 튀어나와 전제를 하고 설명을 하게 되는데 사실 그렇게 어려운 개념은 아닙니다. 우리 앞에 실수축이 하나 있다고 생각해봅시다. 그리고 실수축에서 원하는 지점 두 개를 임의로 선택하면 그 두 점을 잇는 하나의 구간이 형성될 것입니다. 그런데 실수축은 음 쪽이든, 양 쪽이든 모두 무한히 연장되기 때문에 내가 잡은 그 하나의 구간의 최댓값보다 더 큰 실수가 반드시 (내가 잡은 구간의 오른쪽에) 존재하고, 내가 잡은 구간의 최솟값보다 더 작은 실수가 반드시 (내가 잡은 구간의 왼쪽에) 존재할 것입니다. 이렇게 내가 선택한 구간의 임의의 원소에 .. 2020. 12. 29. 수열과 급수의 기초 (Sequence, Series) 이제부터 미적분학의 급수에 관한 주제를 다루게 될 것입니다. 고등학교에서 배우는 수열과 급수와는 다르게, 대학 미적분학에서 급수는 대부분 무한급수를 다루게 되고, 일반적인 수열이나 유한급수에 대해서는 다루지 않습니다. 왜냐하면, 당장 미적분학 책의 급수 파트를 꺼내 읽어보면 마지막에 가서 결국 테일러 급수를 이해하는게 목적이 되기 때문입니다. 테일러 전개를 통한 테일러 급수 표현은 여러가지 수학 분야에서 애용되고 해석함수의 기본적 특징으로 수학에 있어서 매우 중요한 개념이 아닐 수 없습니다. 사실은, 극한, 미분, 급수를 하는 이유는 테일러 급수를 하기 위함이고, 테일러 급수는 나아가 해석함수의 태동에 기여한 수학적 도구입니다. 그래서 미적분학과 해석학을 이어주는 것이 바로 테일러 급수라 할 수 있습.. 2020. 12. 19. 이전 1 다음 반응형
