수열과 급수의 기초 (Sequence, Series)

이제부터 미적분학의 급수에 관한 주제를 다루게 될 것입니다.

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고등학교에서 배우는 수열과 급수와는 다르게, 대학 미적분학에서 급수는 대부분 무한급수를 다루게 되고, 일반적인 수열이나 유한급수에 대해서는 다루지 않습니다. 왜냐하면, 당장 미적분학 책의 급수 파트를 꺼내 읽어보면 마지막에 가서 결국 테일러 급수를 이해하는게 목적이 되기 때문입니다. 테일러 전개를 통한 테일러 급수 표현은 여러가지 수학 분야에서 애용되고 해석함수의 기본적 특징으로 수학에 있어서 매우 중요한 개념이 아닐 수 없습니다. 사실은, 극한, 미분, 급수를 하는 이유는 테일러 급수를 하기 위함이고, 테일러 급수는 나아가 해석함수의 태동에 기여한 수학적 도구입니다. 그래서 미적분학과 해석학을 이어주는 것이 바로 테일러 급수라 할 수 있습니다.

 

이를 위해서, 미적분학에서 무한급수는 고등수학처럼 어떤 값을 계산하거나 어떤 특정 상황에 적용해서 문제해결을 한다기보다 주어진 무한급수가 수렴하는지 판정을 하는 방법을 배우는 것에 초점이 맞추어져 있습니다.

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수열과 급수의 기초적인 개념에 대해서는 고등학교 과정에서도 학습하는데, 이를 숙지해야 미적분학의 급수 파트를 이해할 수 있습니다. 시작에 앞서, 고등학교 때 배우는 내용을 간단히 복습하고 넘어가 봅시다.

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1. 수열, 급수의 개념

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정의역이 자연수의 집합 $\mathbb{N}$ 이고 치역이 실수 집합 $\mathbb{R}$ 인 함수를 수열(sequence)이라 한다.

어떤 수열을 표현하고 싶을 때는 중괄호 안에 일반항을 표기하여 $\left \{ a_n \right \}$ 이라 쓴다. 수열의 특정 항을 표현하고 싶을 때는 $a_n$ 으로 표기한다. 이는 수열 $\left \{ a_n \right \}$ 의 $n$번째 항이라는 뜻이다.

 

수열의 합은 급수(Series)라 하고 합의 기호 시그마(대문자)를 사용해 축약 표현을 할 수 있다.
유한한 항까지의 합을 유한급수라 한다. $n$항까지의 합은 간단히 $S_n$이라 하여 다음과 같이 나타낸다.
$$S_n=\sum_{k=1}^{n}a_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$$

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무한급수의 합은 다음과 같이 정의된다.
$$S=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}a_k=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n$$ 고로 이는 $n$항까지의 합의 극한으로, 실제 무한개의 항을 모조리 더했다는 뜻이 전혀 아니다.

 

2. 여러가지 종류의 수열을 점화식으로 표현하기

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연속한 두 항의 차가 일정한 수열을 등차수열, 연속한 두 항의 비가 일정한 수열을 등비수열, 연속한 두 항의 차이가 등차수열인 수열을 계차수열이라고 합니다. 이외에도 규칙을 가진 여러가진 수열이 존재하는데, 일반적으로 수열을 이웃하는 항들 사이의 관계식으로 정의하는 방법을 '수열의 귀납적 정의'라고 부릅니다. 이 관계식을 '점화식(Recurrence formula)' 라 하는데, 몇가지 특수한 수열을 나타내는 점화식들은 다음과 같습니다.

 

$a_{n+1}-a_n=$ 숫자 $\Rightarrow$ 등차수열

$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=$ 숫자 $\Rightarrow$ 등비수열

$a_{n+1}-a_n=f(n)\;\;\Rightarrow$ 계차수열

* 계차수열의 일반항 공식 : $a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k$

 

3. 수열의 극한

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1) 정의

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수열의 극한은 수열 {an}에서 n이 한없이 커질 때, 그 값이 일정한 값에 가까워질 때 수렴한다고 하며, 일정한 값을 극한값이라고 부른다. 이 극한이 수렴하지 않으면, 수열의 극한값은 없으며 발산한다고 한다.

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미적분학에서 수열의 극한은 엡실론-델타 논법을 이용해 다음과 같이 정의한다.

 

임의의 양수 $\epsilon$ 에 대하여 그에 대응하는 자연수 $N$이 존재하여 

$$n\leq N\;\;\Rightarrow\;\; \left | a_n -L\right | <\epsilon$$
 을 만족하면 수열 $\left \{ a_n \right \}$ 은 일정한 값 $L$로 수렴한다고 하며 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L$ 로 표기한다.

 

이 말은 다음 포스팅에서 다룰 유계의 개념과 연결지어 생각할 수 있습니다. 수열의 각 항의 값이 똑같이 일정한 경우를 제외하면, 수열의 각 항들의 값을 그래프로 찍어 그린다고 생각했을 때 $n$이 무한대에 가까워질수록 특정 값에 스치듯이 접근할텐데, 그것이 이 수열의 항 값 집합의 유계에 해당합니다. 정확히는 최소상계, 최대하계라 볼 수 있겠습니다.

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2) 등비수열의 극한

 

정리($CC$) 1.1

공비가 $r$인 등비수열 $\left \{ a_n \right \}$ 에 대하여,

① $r>1$ 이면 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\infty$

② $r=1$ 이면 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=1$

③ $r\leq -1$ 이면 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n$ 은 진동(발산)

④ $-1<r<1$ 이면 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0$

공비가 $r$인 등비급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}$ 는 기하급수라고도 하며, 수렴조건은
$$-1<r\leq 1$$