급수에서의 유계 (Bounded)

수열의 극한을 정의할 때 유계의 개념을 활용하는 것이 효율적이고 편합니다. 유계라는 말을 아마 인터넷에서 찾아보시면, 유계를 정의하기 전에 꽤나 복잡한 수학용어들이 튀어나와 전제를 하고 설명을 하게 되는데 사실 그렇게 어려운 개념은 아닙니다.

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우리 앞에 실수축이 하나 있다고 생각해봅시다. 그리고 실수축에서 원하는 지점 두 개를 임의로 선택하면 그 두 점을 잇는 하나의 구간이 형성될 것입니다. 그런데 실수축은 음 쪽이든, 양 쪽이든 모두 무한히 연장되기 때문에 내가 잡은 그 하나의 구간의 최댓값보다 더 큰 실수가 반드시 (내가 잡은 구간의 오른쪽에) 존재하고, 내가 잡은 구간의 최솟값보다 더 작은 실수가 반드시 (내가 잡은 구간의 왼쪽에) 존재할 것입니다.

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이렇게 내가 선택한 구간의 임의의 원소에 대해서, 그 원소보다 큰 값이 내가 잡은 구간을 부분집합으로 하는 더 큰 집합(=여기서는 이게 실수축) 에 존재하면, 그 큰 값을 상계라고 부릅니다. 반대로 내가 선택한 구간의 임의의 원소에 대해 이보다 더 작은 값이, 내가 잡은 구간을 부분집합으로 하는 더 큰 집합에 존재하면 그 작은 값을 하계라고 부릅니다. 따라서 원칙적으로 유계라는 말을 정의하려면, 하나의 큰 집합과 그 안의 부분집합 이렇게 2개의 집합이 필요합니다. 여기서 '유계'는 우리가 잡은 실수축의 임의의 두 점을 잇는 구간이 되는 것이고요.

 

 

이제 수학다운 정의를 해봅시다. 1)이 상계, 상한에 관한 설명이고 2)가 하계, 하한에 관한 설명입니다.

 

정리($CC$) 1.2

부분순서집합(Partially order set, poset) $(A,\leq)$ 의 부분집합 $S$에 대하여 다음과 같이 정의한다.

1) 임의의 $s\in S$에 대하여 $u\in A$ 인 $s\leq u$ 가 성립할 때, $u$를 $S$의 '상계(upper bound)' 라고 한다. $S$가 상계를 가지면 $S$는 '위로 유계(bounded above)' 라고 한다.

임의의 $S$의 상계 $u$에 대하여, 상계 중 최소인 값 즉 $u_0\leq u$ 가 성립하는 $S$의 상계 $u_0$를 $S$의 '최소 상계(least uppper bound, lub S)' 또는 '상한(Supremum, Sup S)' 라고 한다.

 

[그림 1] A의 부분집합 S에 대해, S의 모든 원소보다 큰 값을 A는 원소로 삼는다. 그러니 S의 상계가 존재하고, 상계 중 최소값이 상한인 것이다.

 

2) 임의의 $s\in S$에 대하여 $l\in A$ 인 $l\leq s$ 가 성립할 때, $u$를 $S$의 '상계(lower bound)' 라고 한다. $S$가 상계를 가지면 $S$는 '아래로 유계(bounded below)' 라고 한다.

임의의 $S$의 하계 $l$에 대하여, 하계 중 최대인 값 즉 $l\leq l_0$ 가 성립하는 $S$의 하계 $l_0$를 $S$의 '최대 하계(greast lower bound, glb S)' 또는 '하한(infimum, inf S)' 라고 한다.

 

 

[그림 2] A의 부분집합 S에 대해, S의 모든 원소보다 작은 값을 A는 원소로 삼는다. 그러니 A의 하계가 존재하고, 하계 중 최대인 값이 하한인 것이다.

 

참고로 여기서 굳이 부분순서집합이 뭔지 이해할 필요는 없습니다. 이것은 굳이 따지고 보면 집합론에서나 배우는 개념이긴 한데, 어차피 수열의 경우 치역이 실수이기 때문에, 항들의 값을 평면에 찍어 그래프로 그려도 실수를 벗어나지 않아 A를 실수의 집합으로 고려해도 무방합니다. 실수는 완비성을 가지기 때문에 부분순서집합에 해당하고 이후 등장하는 단조수열정리까지만 습득할 수 있으면 됩니다.