합의 유계 판정법 (Bounded Sum Test)

앞으로 급수를 구성하는 항들은 음수가 아니라고 규정하고 여러 양수인 항들로 구성된 급수들의 특징 및 판정법을 다루게 될 것입니다. 이러한 급수들을 '양항급수(positive series)'라고 부릅니다.

 

정리($CC$) 1.6

양항급수 $\sum a_k$ 가 수렴할 필요충분조건은 그 부분합 수열이 위로 유계인 것이다.
$$\sum a_k=\alpha \;\;\Leftrightarrow \;\; \left | S_n \right |\leq C \;\;\;(\alpha\leq C)$$

 

증명) $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$ 이라 하면 $a_k\geq 0$ 이므로 $S_n\leq S_{n+1}$ 이다. 곧 $S_n$ 은 단조증가수열이므로 단조수렴정리에 의하여 어떤 수 $U$가 있어서 부분합 수열 $\left \{ S_n \right \}$ 이 상계를 가지면 $\left \{ S_n \right \}$ 는 수렴하고, 그렇지 않으면 $\left \{ S_n \right \}$ 는 한없이 커져 발산한다.

다만 실제로 이 판정법은 어떤 급수가 수렴하는지 보이기 위해 자주 쓰이는 판정법은 아니고, 단조수렴정리에서 파생되는 수준의 판정법입니다. 또한 부분합 수열 {Sn}이 위로 유계임을 계속 보여야 하니 그에 해당하는 어떤 수열을 찾아야 한다는 점에서 방법이 만만치 않다는 사실을 알게 될 것입니다.