단조수렴정리, 단조수열정리 (Monotonic sequence Theorem)

무한급수의 수렴 판정을 하기에 앞서 수열의 극한의 수렴 여부에 관한 유용한 정리가 하나 있습니다.

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원래 수열의 극한 수렴은 그 수열이 어떤 특징을 가지고 있느냐에 따라 사용할 수 있는 효율적인 방법이 존재하는 편입니다. 예컨대 등비수열은 공비가 -1보다 크고 1보다 같거나 작으면 바로 수렴하는지 여부를 알 수 있습니다. 또, 샌드위치 정리라 부리는 조임정리를 이용해서 몇가지 수열의 수렴여부를 판단할 수 있으며, 엡실론-델타 논법으로 정의된 수열의 수렴 정의 공식을 써도 될 때가 있지요.

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지금 말하려는 수열의 수렴에 관한 정리는 해당 수열이 단조수열일 때를 말하는 것입니다. '단조수열(Monotonic sequences)'이란 감소하지 않는 수열 혹은 증가하지 않는 수열을 말합니다.

 

단조증가수열 = 감소하지 않는 수열 $\Leftrightarrow \;\;a_n\leq a_{n+1}$
단조감소수열 = 증가하지 않는 수열 $\Leftrightarrow \;\; a_n\geq a_{n+1}$

 

 

먼저 감소하지 않는 수열, 즉 단조증가수열을 고려해보겠습니다. 수열의 값이 1항, 2항, 3항 증가할 때마다 감소하지 않는다는 뜻은, 값이 같거나 커진다는 두 가지 경우만 존재한다는 뜻입니다. 수열의 극한을 도입하면, n이 무한대로 갈 경우 항의 값은 무한대가 나오거나, 아니면 특정한 값을 향해 가까이 다가가는 경우 밖에 없습니다. 전자의 경우엔 당연히 발산이라고 하고, 우리가 주목해야 하는 상황은 후자입니다. 예를 들어 다음의 수열

 

$$a_n=1-\frac{2}{n^2}$$

 

을 고려해봅시다. 수열의 극한값을 계산해보면 답이 1이라는 것은 어렵지 않게 구할 수 있을 것입니다. 하지만, 지금 목적은 이 수열의 수렴 여부를 조사하는 것이지 극한값을 구하는 것은 아닙니다! 마치 극한에서 엡실론-델타 논법이 극한값을 구하는 것이 아니라 수렴 여부를 밝히는데 목적이 있는 것과 유사합니다.

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항의 값들을 평면에 찍어보도록 하겠습니다. 그러면 아래의 그림과 같이 나타날 것입니다.

 

[그림 1] 단조 증가 수열

 

그러면 분명히 위로 볼록한 로그함수와 비슷한 개형이 그려지면서, 특정 L이라는 값이 수렴하는 것처럼 보일 것입니다. 여기서 유계의 개념을 도입하면, 직관적으로라도 수열 an이 위로 유계면서, 무수히 많은 상계가 존재하고, 결국 그 상계중에 가장 작은 값인 최소상계가 극한값이 된다는 것을 이해할 수 있습니다! 이것을 정리한 것이 단조수열정리/단조수렴정리에 해당합니다.

 

정리($CC$) 1.3

단조수열이 수렴하기 위한 필요충분조건은 그 수열이 유계인 것이다.

$$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L\;\;\Leftrightarrow \;\; 
\left | a_n \right |\leq C\;\;(L\leq C)$$

 

이걸 좀 더 풀어서 쓰면 다음과 같습니다.

 

단조증가수열(감소하지 않는 수열) $\left \{ a_n \right \}$ 이 상계 $U$를 가지면 이 수열은 $A\leq U$ 인 어떤 값 $A$로 수렴하고, $A$는 극한값이자 최소상계(상한)이다.

단조감소수열(증가하지 않는 수열) $\left \{ b_n \right \}$ 하계 $L$을 가지면 이 수열은 $B\geq L$ 인 어떤 값 $B$로 수렴하고, $B$는 극한값이자 최대하계(하한)이다.

 

좀 더 나아가면 이것은 '실수의 완비성(Completeness property of the real numbers)' 와 같은 말입니다. 실수의 완비성이란 실수의 임의의 부분집합을 택하였을 때 그것이 위로 유계라면, 반드시 이 부분집합의 상계와 최소상계가 존재한다는 것입니다.

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추가적인 내용을 덧붙이면 인간은 자연이 연속적이라고 생각하기 때문에, 연속적인 것이 이 세계에 뭔가 부합하고, 세계와 자연을 설명하는 언어인 수학에서 연속적인 특징을 가진 숫자가 진짜(real)라고 무의식 속에 받아들이기 때문에, 완비성, 즉 연속적인 체계를 가진 수의 집합을 '실수(real number)'라고 이름붙힌 것입니다. 그래서 실수의 여집합을 가상적인 숫자라 해서 허수(imaginary number)라고 한 것이죠.

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수의 체계에 관련해서 심도있게 다루는 것이 본 목적은 아니기에 추가적인 설명은 하지 않겠지만, 만약 관심이 좀 더 많으시다면 이러한 내용은 해석학에서 다루는 편이니 해석학 책을 참고하시면 좋을 듯 합니다. (기초 해석학)