반응형 미분방정식(Differential equation)/이론적 도구8 아벨 항등식 (Abel's identity) 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel, 1802-1829) 는 노르웨이의 위대한 수학자로 그의 수많은 업적들은 가히 수학이란 대성전 곳곳에 새겨져 있습니다. 아벨은 대중도가 낮은 편이라 수학을 잘 모르는 일반인이 접하기 쉽지 않은 인물이긴 하나 그의 업적은 천재 수학자들과 어깨를 견주해도 꿀리지 않을 정도입니다. 수학자에게 부여하는 상으로 아벨상이 있고, 수학에서 찾아보면 Abelian Group, 아벨 적분, 아벨 항등식 등이 있는데 난이도가 높다 보니 그 명성이 일반인들의 귓속까지 전달되기 힘든 것이라 생각됩니다. 그 유명한 5차방정식 이후부터 대수적으로 일반해를 구할 수 없다는 사실을 발견한 것도 이 아벨입니다. 안타깝게도 그는 요절했습니다. 역사를 보면 꽤 이른 나이에 생을 마감한 천.. 2021. 1. 29. 2계 선형 미분방정식에서 일반해를 특수해와 보조해의 합으로 쓰는 이유 2계 선형 미분방정식 $$ay''+by'+cy=g(t)$$ $$y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)$$ 을 풀다보면, 이것의 일반해는 우변이 0인 동차 미분방정식의 해인 보조해(complementary solution) $y_c$ 와 우변이 0이 아닌 위 비동차 미분방정식에 해당하는 하나의 간단한 해인 특수해(particular solution) $y_p$ 의 합인 $$y=y_c+y_p$$ 으로 쓴다는 내용을 알고 있을 것입니다. 그러나 이는 까닭과 원리를 모른채 암기한 뒤 이해하려 노력하면 도저히 납득이 되지 않는 황당무계한 소리입니다. 우변이 $g(t)\neq 0$ 인 방정식을 풀었는데 일반해에 우변이 0인 방정식의 해가 등장한다고 하지를 않나, 우변이 0이 아닌 비동차 미분방정식의 어느 임의의 해.. 2020. 12. 15. 2계 선형 동차 미분방정식의 해집합과 론스키안 (Solution set of Second-order Linear homogeneous Differential Equation with Wronskian determinant) 론스키안(Wronskian)을 이용하여 2계 선형 동차 미분방정식의 해의 존재와 관련된 몇가지 정리를 이해할 수 있습니다. 이 내용은 해의 존재성, 유일성과 관련된 정리에 가깝기 때문에 미분방정식을 푸는 것에 집중하는 공학도들에게는 별 중요한 내용이 아닐 가능성이 높기는 하지만, 언제나 그랬듯이 정확하고 심도있는 학습을 위해 선형대수학과 더불어 미분방정식의 해에 관한 명확한 이해를 기반으로 하는 글이라 보면 됩니다. 1. 론스키안을 이용한 기본해 찾기 1) 기본 정리들 정리($D.E$) 1,7 2계 선형 동차 미분방정식 $$y''+p(t)y'+q(t)y=0\;\;\;\cdots \;\;(1)$$ 의 두 해를 $y_1,y_2$라 하고 초기조건 $$y(t_0)=y_0\;\;,\;\;y'(t_0)=y'_0\;.. 2020. 12. 15. 미분방정식에서 일반해를 선형결합으로 쓰는 이유 미분방정식에서는 해를 나타낼 때 선형결합을 정말 많이 활용합니다. 본격적으로 이를 접하는 단계는 2계 선형 미분방정식에서일 텐데, 실은 편미분 방정식을 가도 일반해는 죄다 선형결합으로 씁니다. 그런데 처음 배울 때 그렇게 쓰는 이유를 정확히 알지 못할 가능성이 있습니다. 바로 선형대수학 때문이죠. 선형결합 및 방정식에 대한 이론을 알아야 이 까닭을 파헤칠 수 있습니다. 그러나 어렵고 낯선 개념을 요구하는 것이 아니니 마음 굳게 먹고 하나하나 이해하려 노력하면 어렵지 않을 것입니다. 1. 일반해를 선형결합으로 쓰는 이유에 대한 가장 많은 하자가 있는 답변 : 대입하면 그것도 성립한다! 실제로 이렇게 알고 있는 분들이 많습니다. '선형결합한 식도 대입하면 성립하니까, 그렇게 해를 쓰나보다' 하는 것이죠. 틀.. 2020. 12. 14. 1계 선형 미분방정식의 해에 대한 논의 (Discussion about the solution of Fisrt-order linear ODE) 1계 선형 비동차 미분방정식 $$y'+p(x)y=q(x)$$ 를 적분인자 $\alpha(x)$를 도입하여 풀었을 때 최종적인 해는 항이 2개로 구성됩니다. $$y=\frac{1}{\alpha(x)}\left ( \int_{x_0}^{x}\alpha(t)q(t)dt +C \right )=e^{-I} \left ( \int_{x_0}^{x}e^Iq(t)dt+C \right )$$ 놀라운 것은 이를 놓고 보면 우리는 비동차 방정식($q(x)\neq 0$) 을 푼 것인데 최종해는 두 항 중 괄호 안의 상수 $C$에 해당하는 항이 동차 방정식($q(x)=0$) 에 해당하는 해라는 것입니다. 이는 특정 상황에서만 성립하는 것이 아니라, 위 식이 일반적인 식의 형태이기 때문에 항상 성립한다는 놀라운 결과입니다. 정리.. 2020. 12. 14. 미분방정식에서 동차, 비동차의 뜻(Homogeneous and Inhomogeneous in the Differential Equations) 수학에서 'Homogeneous'가 포함된 용어는 꽤나 빈번히 등장합니다. 고등학교 수학의 중복조합의 기호 H도 Homogeneous의 앞글자를 딴 것이고, 대학에 와서는 미분방정식과 선형대수학 등 수학의 전반적인 분야에서 굉장히 많이 등장합니다. 실생활에서 언어로서 영어를 사용할 때는 균일하거나 같은 종류를 의미하여 동성애를 뜻하는 단어이기도 하지요. 미분방정식에 들어가면 이 Homogeneous 란 용어가 상당히 중요한데, 그 뜻을 제대로 파악하지 못하면 큰 혼란이 생길 수 있습니다. 원서들을 보면 Homogeneous라는 단어들이 쏟아져 나오는 바람에 미분방정식 시작부터 숨통을 조여올 수 있는데, 미분방정식이 균일하다, 동종이다, 이런식으로 번역하면 전혀 그 뜻을 헤아릴 수 없기 떄문입니다. 그.. 2020. 12. 11. 미분방정식의 종류, order와 degree, 선형과 비 미분방정식을 시작하기 전에 관련된 기본용어를 짚어보고 넘어가 봅시다. 1. 미분방정식(Differential Equation) 미분을 포함하는 방정식을 '미분방정식'이라 하고, 이 방정식에 편미분이 있으면 '편미분 방정식(Partial Differential Equations, PDE)', 없으면 '상미분 방정식(Ordinary Differential Equations, ODE)' 라고 한다. ex) 상미분 방정식의 예로는 RLC 감쇠진동을 나타내는 미분방정식이 있다. $$L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0$$ ex) 편미분 방정식의 예로는 '(시간 비의존)슈뢰딩거 방정식'이 있다. $$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi +V\Ps.. 2020. 11. 28. 미분방정식이란?? (Introduction of Differential Equations) 미분방정식은 일반적으로 함수에서 사용했던 변수들 $x,y$가 동일하게 등장하여, 독립변수 $x$ 와 종속변수 $y$ 에 더하여 미분식 $\frac{dy}{dx}$ 이나 그보다 더 높은 고계도함수 $y''$ 등이 포함되어 있는 방정식입니다. 나아가 전체 변수의 개수가 3개 이상이 되어 다변수함수 또는 편미분이 섞여 있는 경우가 있습니다. 공학과 물리, 화학을 살펴보면 상당히 많은 미분방정식들이 존재합니다. 뉴턴의 제 2법칙인 $ \mathbf{F}=m\mathbf{a} $ 는 힘을 운동량에 대한 시간 변화율로 표현할 수 있다는 점에서 미분방정식이고, 단순히 가속도벡터 $a$ 를 변위 $x$ 의 시간에 대한 2차 미분으로 해석해도 역시 미분방정식이 됩니다. 이외에도 용수철이 늘어나는 운동을 기술하는 훅의 법.. 2020. 11. 28. 이전 1 다음 반응형
