2계 선형 미분방정식
$$ay''+by'+cy=g(t)$$
$$y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)$$
을 풀다보면, 이것의 일반해는 우변이 0인 동차 미분방정식의 해인 보조해(complementary solution) $y_c$ 와 우변이 0이 아닌 위 비동차 미분방정식에 해당하는 하나의 간단한 해인 특수해(particular solution) $y_p$ 의 합인
$$y=y_c+y_p$$
으로 쓴다는 내용을 알고 있을 것입니다.
그러나 이는 까닭과 원리를 모른채 암기한 뒤 이해하려 노력하면 도저히 납득이 되지 않는 황당무계한 소리입니다. 우변이 $g(t)\neq 0$ 인 방정식을 풀었는데 일반해에 우변이 0인 방정식의 해가 등장한다고 하지를 않나, 우변이 0이 아닌 비동차 미분방정식의 어느 임의의 해 하나만 거기다 더하면 된다고 하지를 않나, 표면적으로 엉뚱한 소리에 불과한 것으로 들리죠.
이에 관한 이론은 사실 거듭 강조했듯이 선형대수학에서 펼쳐나갑니다. 동차방정식과 비동차방정식의 해집합이 아주 끈끈하게 결부되어 있기 때문입니다. 이에 관한 중요한 정리를 아래 포스팅에서 한 바 있습니다.
https://gosamy.tistory.com/18?category=824901
위 정리만 보고서도 이해가 되는 것이 가장 좋습니다. 그래도 위 정리를 미분방정식 이론에 맞게 수정하는 작업을 하면서 서두에 던져 놓은 질문의 해답을 찾아 보도록 합시다.
다음과 같은 2계 선형 동차, 비동차 미분방정식이 있습니다.
$$ay''+by'+cy=0\;\;\;\cdots \;\;(1)$$$$ay''+by'+cy=g(t)\;\;\;\cdots \;\;(2)$$
정리($D.E$) 1.5
$Y_1$ 과 $Y_2$ 가 비동차 미분방정식 $(2)$의 두 해라 가정하자. 그러면 이들의 차 $Y_1-Y_2$
는 이에 대응되는 동차 미분방정식 $(1)$의 두 해이다. 이 때 $(1)$의 일반해가 $Ay_1(t)+By_2(t)$ 라면
다음과 같이 쓸 수 있다.
$$Y_1-Y_2=Ay_1(t)+By_2(t)$$
증명) 가정에 의해서
$$aY''_1(t)+bY'_1(t)+cY_1(t)=g(t)\\
aY''_2(t)+bY'_2(t)+cY_2(t)=g(t)$$
양변끼리 빼면
$$a\left \{ Y''_1(t)-Y''_2(t) \right \}+
+b\left \{ Y'_1(t)-Y'_2(t) \right \}
+c\left \{ Y_1(t)-Y_2(t) \right \}=0$$
따라서 $Y_1(t)-Y_2(t)$ 는 동차방정식 $ay''+by'+cy=0$ 의 해이고 정리($D.E$) 2.2 에 의하여 모든 해는 기본해(기저)의 일차결합으로 표현될 수 있으므로
$$Y_1-Y_2=Ay_1(t)+By_2(t)$$ 이 성립한다.
이로부터 다음이 성립합니다. 아래 정리가 바로 일반해를 보조해, 특수해의 합으로 쓰는 정확한 이유입니다.
정리($D.E$) 1.6
정리($D.E$) 2.3 에서 비동차 미분방정식 $(2)$의 일반해를 $Y_1=y=y(t)$라 하고, 다른 특수해를 $Y_2=y_p$ 라 하자. 그러면 $(2)$의 일반해는
$$y=y(t)=Y_1(t)=Ay_1(t)+By_2(t)+Y_2(t)=y_c+y_p$$
즉 보조해와 특수해의 합의 형태로 표현된다.
위의 정리로부터 자연스럽게 성립하는 내용입니다. 이항만 할 줄 알면 누구나 쉽게 이해할 수 있습니다. $Y_1$를 일반해라 두고 $Y_2$를 특수해라 둡니다. $Y_2$를 우변으로 넘기면, 특수해에 동차방정식의 일반해인 보조해를 더했을 때 2계 선형 비동차 미분방정식의 일반해가 나온다는 사실을 알 수 있습니다.
[참고문헌]
Elementary differential Equations and Boundary value problems, William E. Boyce, Richard C. Diproma, Douglas B. Meade, WILEY
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