닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel, 1802-1829) 는 노르웨이의 위대한 수학자로 그의 수많은 업적들은 가히 수학이란 대성전 곳곳에 새겨져 있습니다. 아벨은 대중도가 낮은 편이라 수학을 잘 모르는 일반인이 접하기 쉽지 않은 인물이긴 하나 그의 업적은 천재 수학자들과 어깨를 견주해도 꿀리지 않을 정도입니다. 수학자에게 부여하는 상으로 아벨상이 있고, 수학에서 찾아보면 Abelian Group, 아벨 적분, 아벨 항등식 등이 있는데 난이도가 높다 보니 그 명성이 일반인들의 귓속까지 전달되기 힘든 것이라 생각됩니다. 그 유명한 5차방정식 이후부터 대수적으로 일반해를 구할 수 없다는 사실을 발견한 것도 이 아벨입니다. 안타깝게도 그는 요절했습니다. 역사를 보면 꽤 이른 나이에 생을 마감한 천재들을 심심치 않게 볼 수 있는데, 그 중 한 명이라 할 수 있겠습니다.
아벨 항등식은 미분방정식에서 론스키안을 이용해 아벨이 내놓은 정리입니다. 미분방정식을 학부 수준에서 공부할 때 이 정리가 그리 유용하게 쓰일 것이라 생각하지는 않습니다만, 심화 학습이라고 생각하고 한 번 공부해봅시다. 내용 자체는 그리 어렵지 않습니다.
정리($D.E$) 1.10
열린구간 $I$ 에서 연속인 함수 $p,q$를 계수로 하는 2계 선형 미분방정식
$$y''+p(t)y'+q(t)y=0$$
의 두 해를 $y_1,y_2$ 라 하자. 이 때 두 해의 론스키안은
$$W\left [ y_1,y_2 \right ](t)=ce^{-\displaystyle\int p(t)dt}$$
로 주어지고, 이를 '아벨 항등식(Abel's identity)'라 한다. 여기서 $c$의 값은 미분방정식의 두 해에 의존하고 $t$와는 무관한 상수이다. 위 식에 의하면 주어진 구간에서 $c\neq 0$ 인 것은 $W\neq 0$ 인 것과 필요충분조건이다. 이 정리는 '아벨의 정리(Abel's Theorem)'으로 부르기도 한다.
증명) $y_1,y_2$ 가 주어진 미분방정식의 해이므로
$$y_1''+p(t)y_1'+q(t)y_1=0 \\\\ y_2''+q(t)y_2'+q(t)y_2=0$$
가 성립한다. 위 식에 $-y_2$를, 아래 식에 $y_1$ 을 곱한 다음 변변끼리 더하면
$$\left ( y_1y_2''-y_1''y_2 \right )+p(t)\left ( y_1y_2'-y_1'y_2 \right )=0\;\;\;\cdots \;\;(1)$$
이 때 론스키안이 $W\left [ y_1,y_2 \right ](t_0)=y_1y_2'-y_1'y_2$ 으로 주어지기 때문에 한 번 미분하면
$$W'=y_1y_2''-y_1''y_2$$
가 성립한다. 따라서, 식 $(1)$ 은
$$W'+p(t)W=0$$
이 되며 이는 분리 가능한 1계 선형 미분방정식이므로 상수 $c$에 대해 아래와 같은 해를 얻는다.
$$W(t)=ce^{-\displaystyle\int p(t)dt}$$
우변의 지수함수는 언제나 양수이므로 $c=0$ 일 때만 $W=0$ 이며, 이는 필요충분조건이 된다.
이 정리는 그닥 실용적으로 여러 군데 쓰이지는 않습니다. 의의를 살펴보면, 2계 선형 동차 미분방정식에서 기저의 역할을 하는 한 쌍의 기본해들이 여러개가 있을텐데, 이들의 론스키안 값은 상수배의 차이만 난다는 것입니다.
아벨의 정리는 특히 $y'$의 계수인 $p(t)=0$ 인 미분방정식에서 쓸모가 있습니다. 론스키안이 바로 상수가 되어버리기 때문입니다. 늘어났다 줄어드는 용수철 상수를 기술하는 미분방정식이나 에어리 미분방정식을 뽑을 수 있겠네요. 물론 이 정리는 론스키안 값 자체를 바로 구하기 위해 사용하는 것은 적절하지 않을 가능성이 높습니다. 해를 구하지 않으면 $c$를 바로 알 수 있는 방법이 없기 때문이죠. 그러나 론스키안이 함수가 아니라 상수가 나온다는 것만으로도(거기에다가 금상첨화로 $c\neq 0$ 이라면) 쓸모 있는 경우가 종종 있습니다. 함수에 의존한다면 다시 그 함수의 변수의 범위에 따라 론스키안 값이 달라지니 더욱 복잡해지겠죠.
[참고문헌]
Elementary differential Equations and Boundary value problems, William E. Boyce, Richard C. Diproma, Douglas B. Meade, WILEY
댓글