분리 가능한 미분방정식 (Separable Equaion)

방정식의 한 쪽에는 $y$에 관한 항만 있고, 다른 쪽에는 $x$에 관한 항만 있게 변형할 수 있는 형태의 미분 방정식을 '분리 가능한 방정식(Seperable Equation)' 이라고 합니다.

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미분방정식의 목적은 결국 $y=\cdots$ 과 같이 어떠한 꼴로 식을 만드는 것이고, 처음 식에 $dy$가 포함되어 있기 때문에, 결국 적분을 해서 $dy$를 $y$로 바꾸는 과정이 필요할 것입니다.

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분리 가능한 방정식은 $dy$와 $dx$를 각각의 변으로 나누고, $y$와 $x$에 관한 항들을 $dy,dx$가 있는 항에 남겨 양변을 동시 적분해서 원하는 식을 얻을 수 있는 꼴을 가지고 있습니다. 그래서 항만 잘 조절하고, 적분을 해주면 끝나서 상당히 쉽게 답을 얻습니다. 핵심은 $y'$ 이 등장했을 때 이것을 $dy/dx$로 바꾸는 것입니다.

 

정리($D.E$) 2.2

1계 미분방정식(꼭 선형이지 않아도 된다) 이 다음과 같이 변형 가능하면, 이 미분방정식은 '분리 가능(Separable)'하다고 한다.
$$p(x)dx+q(y)dy=0$$ 이것의 해는 양변에 $x,y$ 각각에 대한 식을 몰아넣고 양변 적분하여 얻는다.

 

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예제 1) 다음 미분방정식을 풀고, 주어진 경계조건을 만족하는 상수의 값도 구하라.

 

Sol)

$$xy'=y\;\;(x=2,y=3)$$

 

$$x\frac{dy}{dx}=y\;\;,\;\;\frac{1}{y}dy=\frac{1}{x}dx\;\;,\;\; \int \frac{1}{y}dy=\int \frac{1}{x}dx$$
$$\therefore \;\; \ln y=\ln x+\ln c\;\;,\;\;y=cx$$

 

단순히 한 변에 $x$를 모으고, 다른 한 변에는 $y$를 모으기만 하면 끝입니다. 이제 주어진 경계조건을 대입해서 $c$의 값을 정합니다. $y=cx$에 $x=2,y=3$을 대입하면

$$c=\frac{3}{2}\;\;\rightarrow \;\;y=\frac{3}{2}x$$

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예제 2) 방사성 동위원소의 붕괴율은 남은 원자수에 비례한다. 이를 나타내는 미분방정식

$$\frac{dN}{dt}=-\lambda N\;\;,\;\;N=N(t)$$

를 풀어라. 처음에 존재하는 원자의 개수는 $N_0$ 이다.

 

Sol) 처음은 $t=0$에 해당하는 시점이니 이 때 $N=N(0)=N_0$ 이라는 뜻입니다.

 

$$\frac{1}{N}\,dN=-\lambda dt\;\;,\;\;\ln N(t)=-\lambda t+C$$ $$\ln N(t=0)=C=\ln N_0\;\;\rightarrow \;\;\ln \frac{N(t)}{N_0}=-\lambda t$$

$$\therefore \;\; N(t)=N_0e^{-\lambda t}$$

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예제 3) 다음 미분방정식을 풀고 $(x,y)=(0,0)$에 해당하는 특별해를 구하라.

 

Sol)

$$y'=\sqrt{1-y^2}$$

 

분리 가능한 방정식이 이와 같이 선형이 아닐 수도 있습니다. 그렇다 할지라도 원칙은 동일합니다.

 

$$\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}dy=dx$$

 

분리 가능하게 식을 정리했는데, 여기서는 역삼각함수 공식을 알고 있어야만 적분한 결과를 쓸 수 있습니다. (아래에서 설명하는 y,x는 문제의 것과 다릅니다)

 

$y=\mathrm{sin}x$ 의 역함수는 $x\leq \left | \frac{\pi}{2} \right |$ 에서 $x=\mathrm{sin}y$ 이다. 양변을 미분하면 $\frac{dx}{dy}=\mathrm{cos}y\;\;,\;\;\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\mathrm{cos}y}$ 이고 $\mathrm{sin}^2y+\mathrm{cos}^2y=1$ 임을 이용하면 $\mathrm{cos}y=\pm \sqrt{1-\mathrm{sin}^2y}\;\;\rightarrow\;\; \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt {1-x^2}}$

 

이와 같은 이유로, 양변을 적분하면

 

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}dy=\int dx\;\;\rightarrow \;\; \mathrm{sin}^{-1}y=x+C\;\;\left (x\leq \left | \frac{\pi}{2} \right |  \right )\\ \therefore \;\; y=\mathrm{sin}(x+C)$$

 

그러면, 주어진 경계조건을 넣었을 때 $C=0$ 이므로 $y=\mathrm{sin}x$ 라는 특별해를 얻습니다.