1계 선형 미분방정식을 적분인자를 이용해 풀기 (Linear First-order ODEs using integrating factor method)

과학과 공학에서 자연현상을 기술하는 많은 현상은 미분방정식을 통해 간결하게 표현됩니다. 이들 중 학부과정에서 많이 마주치는 것은 2계 선형 미분방정식입니다. 이를 풀려면 1계 선형 미분방정식에 대한 이해를 필요로 합니다. 고계 미분방정식으로 나아가기 위한 손풀기 단계라 생각하고 차근차근 원리를 헤아려 봅시다.

 

이 포스팅은 1계 선형 미분방정식을 풀고 해를 구하는 것에만 집중하며, 이 해의 특성에 대한 심도있는 논의는 여기서 진행하고 있습니다. 해당 글은 본 포스팅을 학습한 뒤에 확인할 것을 권장합니다.

---

1. 1계 선형 미분방정식(Linear First-Order ODEs)

​

정리($D.E$) 2.1

1계 선형 미분방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다.
$$y'+p(x)y=q(x)$$
이것의 해는 $$y=y(x)=\frac{1}{\alpha(x)}\left \{ \int_{x_0}^{x} \alpha(x)q(x)dx+C \right \} $$ 이다.

 

먼저 $p(x)$와 $q(x)$에 대해 살펴보면 이들은 $x$에 관한 식이 됩니다.^[각주:1]이 때 $p(x)$가 상수인 경우, 즉 $y$들의 계수가 상수인 경우는 좀 더 간단히 풀 수 있어서 먼저 다룰 주제가 될 것입니다.

 

또한 고계 미분방정식에서도 그렇지만, 보통 미분횟수가 가장 많은 항의 계수는 1이 아니라면 양변을 그 숫자로 나누어 1로 만듭니다. 이는 나중에 특이점(Singular point)를 파악할 때도 유용하여 관례적으로 그렇게 하는 것이 좋습니다. 여기서는 $y'$의 계수를 1로 만든다는 것입니다. 

 

선형 미분방정식을 마주했을 때 가장 먼저 해야 할 일은 주어진 방정식의 우변이 0인지를 확인하는 것입니다. 우변이 0인 경우를 '동차방정식(homogeneous equation)' 이라 하고 0이 아닌 경우는 '비동차방정식(inhomogeneous equation)' 이라고 부릅니다. 동차(homogeneous)가 의미하는 여기서 확인하면 되고 매우 중요한 개념입니다. 선형 n계 미분방정식에서는 이 동차방정식과 비동차방정식을 유심히 고려해야 합니다. 아무튼 1계 선형 미분방정식 해는 아래와 같이 나옵니다.

 

특히, $y$의 계수가 상수라면 해는 다음과 같습니다.

 

사실 둘은 결과적으로 같은 형태이지만, 계수가 상수이면 좀 더 쉽고 간단해서 다시 써 본 것입니다. 이 때 $\alpha(x)=e^I$ 는 '적분인자(Integrating factor)'라 합니다. 이를 이용해서 1계 선형 미분방정식을 풀 예정입니다.

---

2. 동차방정식

 

우변이 0인 경우는 분리 가능한 방정식(Seperable equation)이기 때문에 쉽지만 그래도 한 번 풀어봅시다.

 

$$y'+p(x)y=0\;\;\rightarrow\;\;\frac{1}{y}dy=-p(x)dx\;,\;\ln y=-\int p(x)dx+C\;, \\ 
\therefore \;\;y=e^{-\int p(x)dx+C}=e^Ce^{-\int p(x)dx}=Ae^{-\int p(x)dx}$$

 

그러므로 해를 빠르게 구하기 위해선 $y$의 계수를 적분할 필요가 있습니다. 여기서 적분인자를 다음과 같이 정의합니다.

 

$I=\int p(x)dx$ 라 정의하자. 그러면 $p(x)=\displaystyle\frac{dI}{dx}$ 이고 동차방정식 $y'+p(x)y=0$ 의 해는 $y=Ae^{-I}$ 이고, $A=e^C$이며 이 때 $e^I$ 를 적분인자라고 한다.

 

---

3. 비동차방정식

 

1) $e^I$ 를 곱해서 처리

 

물론 훨씬 일반적인 경우는 우변이 0이 아닌 비동차방정식에 해당할 때입니다. 문제를 하나 보고 갑시다.

 

 

예제 1) 다음 미분방정식의 해를 구하여라.

 

$$3x^2y'+\left ( x^3+1 \right )y=2x$$

 

이 방정식의 좌변을 눈여겨 보면, 어떤 함수의 곱의 미분법을 전개한 것임을 알 수 있습니다.

 

$$\frac{d}{dx}\left \{ \left ( x^3+1 \right )y \right \}=2x$$

 

그러므로 양변을 적분하면 y의 값을 손쉽게 얻을 수 있습니다.

 

$$y=\frac{x^2}{x^3+1}+C$$

 

1계 선형 미분방정식은 항상 이런식으로 풀게 됩니다. 좌변에 존재하는 y와 y' 앞에 곱해진 x에 관한 식이 적절히 모여서, y와 어떤 x에 관한 함수의 곱의 미분꼴로 변형을 해준 뒤 양변을 적분하는 방법이지요. 그런데 방금 푼 예제에서는 y와 y'의 계수가 운이 좋았던 것이지, 대부분의 경우는 이렇지 않겠지요? 그래서, 곱의 미분을 바로 적분할 수 있는 형태를 만드는 방법을 배워야 합니다. 다행이도 이 방법은 널리 알려져 있는데, 바로 적절한 수를 양변에 곱해서 우리가 원하는 형태로 식을 바꾸는 것입니다. 이 때 곱하는 양을 '적분인자(Intergrating factor)'라고 합니다. 적분인자는 위에서 언급했듯이 y의 계수 p(x)를 (부정)적분한 값(이 때 상수는 무시)를 지수로 하는 밑이 e인 지수함수입니다. 비동차 미분방정식

 

$$y'+p(x)y=q(x)$$

 

를 고려합시다. 양변에 적분인자를 곱하면

 

$$y'e^I+yp(x)e^I=q(x)e^I\\\\
q(x)e^I=e^I\left \{ y'+p(x)y \right \}=y'e^I+ye^Ip(x)=y'e^I+ye^I\frac{dI}{dx}=\frac{d}{dx}\left ( ye^I \right )$$

 

양변을 적분하면 해답을 얻습니다.

 

$$\int \frac{d}{dx}\left ( ye^I \right )dx=\int q(x)e^Idx \\\\
\therefore \;\; ye^I=\int q(x)e^Idx+C\;\;\mathrm{or}\;\;y=e^{-I}
\left ( \int q(x)e^Idx +C\right )$$

 

 

2) 적분인자를 미지수 $\alpha (x)$ 로 두고 처리

 

그런데 미분방정식을 설명하는 교재에 따라 어떤 책에서는 적분인자를 위와 같이 바로 도입하지 않고, 임의의 식으로 상정한 뒤 이것을 양변에 곱해서 푸는 경우도 있습니다. 이렇게 하는 이유는 우변의 q(x)=0 이면, 분리 가능하지만 q(x)≠0 인 경우에는 바로 분리 가능하지 않아서, 무언가 수를 곱해 곱의 미분꼴로 바꾸고 분리 가능하게 만드려 양변을 적분해 풀 수 있도록 하는 목적을 품고 있기 때문입니다. 이 방법대로 한다면, 적분인자를 $\alpha =\alpha (x)$ 라 하고 비동차 미분방정식 양변에 곱합니다.

 

$$\alpha (x)\frac{dy}{dx}+\alpha (x)p(x)y=\alpha(x)q(x)$$

 

곱한 $\alpha(x)$가 다음 관계를 만족한다고 해야 합니다. 그래야만 분리 가능해지기 때문이죠.

 

$$\frac{d}{dx}\left \{ \alpha(x)y \right \}=\alpha(x)y'+\alpha(x)p(x)y=\alpha(x)q(x)\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$

 

그런데 좌변은 그 자체로 곱의 미분법을 적용하면

 

$$\frac{d}{dx}\left \{ \alpha(x)y \right \}=\alpha(x)\frac{dy}{dx}+\frac{d\alpha}{dx}y\;\;\;\cdots \;\;(2)$$

 

이기 때문에, $(1),(2)$를 합치면

 

$$\alpha(x)y'+\alpha '(x)y=\alpha(x)y+\alpha(x)p(x)y\\\\
\therefore \;\; \frac{d\alpha}{dx}=\alpha(x)p(x)$$

 

이제 이 방정식은 분리 가능합니다.

 

$$\int \frac{1}{\alpha(x)}d\alpha=\int p(x)dx\;\;\rightarrow \;\;\alpha(x)=e^{\int p(x)dx}+k$$

 

물론 여기서 엄밀하게는 적분을 할 때 상수가 붙겠지만 우선 여기선 편의상 상수 $k$를 0으로 둡니다. 상수가 0이 아닐지라도 마지막 식에서 적분구간을 정해줌으로서 그 효과를 보정할 수 있습니다. 그리고 나서 $(1)$의 가장 왼쪽 변과 가장 오른쪽 변을 봅시다. 그 두 변 역시 분리 가능하므로 적분을 해주면

 

$$\int \frac{d}{dx}\left ( \alpha(x)y \right )dx=\int \alpha(x)q(x)dx$$
$$y=y(x)=\frac{1}{\alpha(x)}\left \{ \int \alpha(x)q(x)dx+C \right \}$$

 

이것이 비동차 미분방정식 $y'+p(x)y=q(x)$ 의 최종해에 대한 일반적인 형태입니다. 추가로 만약 초기값 $x=x_0$가 주어졌을 때는 적분기호의 위아래 끝에 문자를 넣어서

 

$$y=y(x)=\frac{1}{\alpha(x)}\left \{ \int_{x_0}^{x} \alpha(t)q(t)dt+C \right \} $$

 

등과 같이 나타내 주면 됩니다.

1. 초월함수여도 가능합니다. [본문으로]