계수가 상수인 2계 선형 미분방정식 2) 우변이 상수이거나 지수함수일 때

이제 2계 선형 비동차 미분방정식을 풀어봅시다. 우변이 0이 아닐 때를 다룰 것인데, 우변이 어떤 함수인지에 따라 풀이법이 상이하므로 유형을 나누어 풀어볼 예정입니다.

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1. 계수가 상수인 2계 선형 (비동차) 미분방정식

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$$y''+py+qy=g(t)\;\;\;\cdots \;\;(1) \\\\
y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)\;\;\; \cdots \;\;(2)$$

 

계수가 상수이고, 우변이 0이 아닌 2계 선형 동차 미분방정식의 일반적인 꼴은 이와 같습니다. 우변이 0인 경우는 좀 더 간단하고, 이전 포스팅에서 다룬 바 있습니다.

 

1계 선형 미분방정식의 경우 해를 특정한 꼴의 공식으로 나타낼 수 있었지만, 2계 선형 미분방정식의 경우 1계처럼 y의 일반적인 해를 x에 관한 식으로 표현한 일반화된 공식이나 풀이법이 존재하지 않습니다. 그렇다고 할지라도 미분방정식의 꼴을 보고 몇가지 상황에서는 간단히 해를 구하는 방법이 물론 존재합니다. 그런데 이 때 일반해(general solution)는 이 미분방정식을 만족시키는 가장 간단한 해인 '특별해 $y_p$(particular solution)' 와 우변이 0인 동차(homogeneous)방정식의 해인 '보조해 $y_c$(complementary function)' 의 합으로 씁니다. 왜 그런가요? 라고 질문이 바로 튀어나와야 정상이며, 그 까닭은 아래 글에다 완벽히 정리해 두었습니다.

 

https://gosamy.tistory.com/55

 

어려운 내용이 아닙니다. 두렵다고 포기하지 마시고, 꼭 깔끔하게 확인을 마치고 2계 선형 미분방정식의 세계로 돌아오시기 바랍니다.

 

그렇다면, 미분방정식 $(1)$과 $(2)$는 우변을 0으로 놓은 뒤 동차방정식을 풀어 그것의 일반해를 먼저 찾은 다음, 특별해를 찾아서 해라고 쓰면 됩니다.

 

$$y=y_c+y_p$$

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2. 우변이 상수일 때

 

예제 1) 다음 미분방정식의 일반해를 구하라.

$$y''-2y'-3y=7$$

 

우변이 0일 때의 동차방정식을 풉니다.

 

$$(D^2-2D+3)y=(D-3)(D+1)y=0$$

$$y=y_c=Ae^{3x}+Be^{-x}$$

 

특별해는 어떻게 구할까요? $y_p=\displaystyle\frac{7}{3}$ 입니다. 넣어보면 $y''=y'=0$ 이고 $-3y=7$ 이므로 성립한다는 사실을 알게 됩니다. 그러므로, 우변이 상수일 때 특별해를 구하는 방법은 2계 미분항과 1계 미분항이 0이 되게 만들어 $y$항만 남긴 다음 계수를 우변으로 넘겨 만든 상수를 찾는 것입니다. 어렵지 않죠? 그러면 일반해는

 

$$y=y_c+y_p=Ae^{3x}+Be^{-x}+\displaystyle\frac{7}{3}$$

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3. 우변이 지수함수일 때

 

정리($D.E$) 2.4

우변의 $g(x)$가 지수함수인 선형 2계 비동차 미분방정식
$$y''+py'+qy=(D-a)(D-b)y=ke^{cx}$$의 특별해 $y_p$는

① $c\neq a\,,\, c\neq b : y_p=ke^{cx}$
② $c= a\,,\, a\neq b : y_p=kxe^{cx}$
③ $c=a=b : y_p=kx^2e^{cx}$

로 두고 대입해서 $k$값을 찾는다. 이 방법이 안되면 $u=(D-a)y$ 로 치환해서 푼다.

 

 

예제 2) 다음 미분방정식의 일반해를 구하여라.

$$(D-1)(D+5)y=7e^{2x}$$

 

위의 table 대로 특별해를 놓고 풀어봅시다. $a,b,c$가 모두 다른 상황이므로

$y_p=ke^{2x}$라 하면 $y'_p=2ke^{2x}$, $y''_p=4ke^{2x}$ 가 되어, 대입하면

$$y''_p+4y'_p-5y_p=ke^{2x}(4+2+1)=7ke^{2x}=7e^{2x}\;\;\rightarrow\;\;k=1$$ 이므로, $$y=y_c+y_p=Ae^x+Be^{-5x}+e^{2x}$$

 

쉽게 답을 얻었습니다.

 

반면 치환의 방법을 통해서도 풀 수 있습니다. $u=(D+5)y$ 로 치환하면 주어진 미분방정식은

 

$$(D-1)u=u'-u=7e^{2x}$$

$$u'e^{-x}-ue^{-x}=\frac{d}{dx}\left ( ue^{-x} \right )=7e^{2x}$$

$$ue^{-x}=7e^x+C\;\;,\;\; \therefore \;\;(D+5)y=y'+5y=7e^{2x}+Ce^x$$

 

$u$가 사라지고 $y$에 대한 1계 선형 미분방정식만 남았으니, 똑같은 방법으로 또 풀어줍니다.

 

$$y'e^{5x}+5ye^{5x}=\frac{d}{dx}\left ( ye^{5x} \right )=7e^{7x}+Ce^{6x}\\
ye^{5x}=e^{7x}+\frac{C}{6}e^{6x}+B$$

여기서 $C/6=A$ 라 놓으면

$$y=e^{2x}+Ae^x+Be^{-5x}$$

 

결국 정석적으로 풀어도 똑같은 결과를 얻는데, 첫번째 풀이가 더 빠릅니다. 두번째 풀이는 1계 선형을 2번 풀어야 하기 때문이죠.. 첫번째 풀이 즉 특별해 yp 를 어떻게 치환하느냐 하는 방법은 계수비교법의 일종임을 알 수 있습니다.