계수가 상수인 2계 선형 동차 미분방정식 1 ) 우변이 0일 때

해를 완벽하게 해석적으로 작성할 수 있는 미분방정식은 전체 미분방정식 집합 중에서는 매우 작은 영역을 차지합니다. 대수방정식과 마찬가지로 미분방정식도 고계(high-order)인 경우 해를 만들기가 까다로워지기 때문에, 대부분 2계 미분방정식까지를 제대로 이해하는 것을 요구합니다. 게다가 물리학과 공학에서 자연을 기술하는 가장 많은 형태의 방정식이 바로 2계 선형 미분방정식입니다. 이를 잘 풀면 각각의 과목에서 그들을 마주칠 때마다 적절한 도구로 해석하는 일이 가능해질 것입니다.

 

[그림 1] 용수철의 운동을 기술하는 Hooke's law 는 $F=-kx$ 로 2계 선형 동차 미분방정식으로 정확하게 표현된다.

 

참고로 이 글을 읽으면서 2계 선형 미분방정식의 해를 선형결합으로 쓰는 이유에 대해 설명한 

 

미분방정식에서 일반해를 선형결합으로 쓰는 이유

을 같이 참고하는 것이 좋습니다.

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1. 기본 형태

 

2계 선형 미분방정식의 기본적인 형태는 다음과 같다.
$$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=G(x)$$ 앞으로 여기서 $y''$의 계수를 $1$로 만든 아래와 같은 상태를 표준형으로 생각한다.
$$y''+p(x)y+q(x)=g(x)$$

 

표준형을 따로 설명한 이유는 여러가지가 있습니다. 2계 선형 미분방정식의 경우 계수가 상수인지, 문자인지가 중요해서 상수인 경우와 문자인 경우를 나눠서 푸는 방법이 약간 다릅니다. 그 방법을 사용할 수 있는지 검증하는 단계에서는 표준형으로 바꿀 필요가 있기 때문에 보통 저렇게 $y''$의 계수를 1로 만드는 것을 습관화하는 것이 좋습니다. (그러나 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식을 풀 때는 인수분해를 하므로 굳이 1로 바꾸지 않아도 됩니다. 자세한 내용은 후술) 또한 독립변수는 $x$대신 $t$를 사용할 때도 있습니다.

 

여기서도 마찬가지로 우변의 $g(x)$가 0인지 아닌지에 따라 동차, 비동차방정식이라 부르며 둘 사이의 지대한 연관성이 있습니다. 이를 나누어 풀 것이고 그보다도 계수 $p(x),q(x)$가 상수인 경우를 먼저 보려고 합니다.

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2. 계수가 상수인 2계 선형 동차(homogeneous) 미분방정식

 

1) 미분연산자

 

여기서는 계속해서 도함수 연산자(derivative operators)을 사용합니다. 이는 $D=\displaystyle\frac{d}{dx}$ 로 우리에게 익숙한 연산자이며, $D(x+ky)=D(x)+kD(y)$ 가 성립하므로 선형입니다.

 

 

2) 풀이 : 고유방정식(Characteristic Equation)

 

 

정리($D.E$) 2.3

계수가 상수인 2계 선형 동차 미분방정식
$$ay''+by'+cy=0$$
의 풀이는 미분연산자 $D$를 이용해 인수분해하여 $(D-r_1)(D-r_2)y=0$ 을 만들었을 때 '특성방정식 (또는) 고유방정식(characteristic Equation)'
$$ar^2+br+c=(D-r_1)(D-r_2)=0$$ 의 근의 개수에 따라 다음과 같이 정해진다.

i) 특성방정식이 서로 다른 두 실근을 가짐 : $y=Ae^{r_1}+Be^{r_2}$

ii) 특성방정식이 중근을 가짐 : $y=(Ax+B)e^{r_1}=(Ax+B)e^{r_2}$

iii) 특성방정식이 서로 다른 두 허근을 가짐 : $y=e^{\alpha x}\left ( C_1\,\mathrm{sin}\beta x+C_2\,\mathrm{cos}\beta x \right )$
여기서 $\alpha \pm i\beta$ 는 특성방정식의 두 근이다.

 

 

계수가 상수인 2계 선형 동차 미분방정식은 먼저 인수분해를 해줍니다. 이 때 미분연산자를 사용한다는 것은

 

$$ay''+by'+cy=0\;\;\Leftrightarrow\;\; aD^2y+bDy+cy=0$$

 

으로 표현한다는 것이기 때문에, 인수분해를 하면

 

$$(D-r_1)(D-r_2)y=0$$

 

의 꼴이 될 것입니다. 인수분해가 안되면 근의 공식을 써서 두 근을 찾은 다음 $r_1,r_2$에 넣으면 되겠지요? 그러면 D는 미분 연산자이지 미지수가 아니기 때문에 $D=d/dx=r_1\;\mathrm{or}\; b$ 의 꼴이 되지는 않고, $y$까지 포함된 항이 0이 되어야 합니다.

 

$$(D-r_1)y=0\;\;\mathrm{or} \;\;(D-r_2)y=0\;\;\;\cdots \;\;(1)$$

 

여기서부터 $r_1$과 $r_2$의 관계에 따라 길이 갈라집니다.

 

 

i) $r_1\neq r_2$

 

가장 흔한 경우라고 할 수 있겠습니다. $(1)$은 분리 가능(separable)한 형태이므로 각각에서 해를 구하면 $y_1=Ae^{r_1x}\;\;,\;\;y_2=Be^{r_2x}$ 이고, 일반해는 이들의 선형결합 꼴인

$$y=Ae^{r_1x}+By_2=Be^{r_2x}$$

 

으로 씁니다. 그 이유는 자세히 설명하기 위해 이곳에서 따로 언급했습니다.

 

여기서 눈여겨보아야 할 특징은 해가 밑이 $e$인 지수함수로 나온다는 겁니다. 그래서 사실 $ay''+by'+cy=0$ 에 $y=e^{rt}$ 꼴의 해를 대입하면 방정식

 

$$(ar^2+br+c)e^{rt}$$

 

가 등장하고, 지수함수는 0이 될 수 없기 때문에 앞의 2차방정식

 

$$ar^2+br+c=0$$

 

이 해의 모양을 결정하는 것입니다.

 

 

ii) $r_1=r_2$

 

특성방정식이 중근을 가지는 경우입니다. 여기선 치환을 이용해서 해를 구합니다. $(D-r_1)y=u$ 라 치환하면,$(D-r_1)u=\displaystyle\frac{du}{dx}-r_1u=0\;\;\rightarrow\;\;u=(D-r_1)y=Ae^{r_1x}$ 이 되는데 이건 1계 선형 미분방정식이기 때문에 이미 해를 알고 있습니다.

 

$$y=y(x)=e^{-\int -r_1dx}\left ( \int e^{\int -r_1dx}Ae^{r_1x}dx+B \right )=e^{r_1x}(Ax+B)$$

따라서, $y=e^{r_1x}(Ax+B)$ 는 특성방정식 $(D-r_1)(D-r_1)y=0$ 의 일반해입니다.

 

 

iii) 특성방정식이 서로 다른 두 허근을 가질 수 있습니다. 그리고 이때 복소수는 서로 켤레(conjugate) 관계가 되겠지요. 이 때는 허근이라는 점만 조금 다를 뿐 i) 의 상황과 유사하게 흘러갑니다.$$\begin{align*}

y&=Ae^{(\alpha+i\beta)x}+Be^{(\alpha-i\beta)x}=e^{\alpha x}\left ( Ae^{i\beta x}+Be^{-i\beta x} \right )
\\\\&=e^{\alpha x}\left \{ A(\mathrm{cos}\beta x+i\mathrm{sin}\beta x)+B(\mathrm{cos}\beta x-i\mathrm{sin}\beta x) \right \}
\\\\&=e^{\alpha x}\left ( C_1\,\mathrm{sin}\beta x+C_2\,\mathrm{cos}\beta x \right )
\end{align*} $$

 

이와 같은 논리 전개만으로도 특성방정식이 허근을 가질 때의 일반해를 작성할 수 있지만, 복소수 해에 대해서는 이곳에서 좀 더 고찰해볼 수 있습니다.

 

 

[참고문헌]

Mary L. Boas, Mathematical Methods in the physical sciences, 3e