계수가 상수인 2계 선형 비동차 미분방정식 4) 우변이 다항식 또는 다항식과 지수함수의 곱인 경우

이번에는 우변에 다항식만 존재하거나 다항식과 지수함수의 곱 형태의 함수가 존재할 때 2계 선형 비동차 미분방정식을 푸는 방법을 알아봅시다.

 

정리($D.E$) 2.6

$n$차 다항식 $P_n(x)$ 에 대하여 $(D-a)(D-b)y=P_n(x)e^{cx}$ 의 특별해는
$$\left\{\begin{matrix}
c\neq a\;,c\neq b\;:\;y_p=Q_n(x)e^{cx}\\\\
\;c=a\;,a\neq b \;:\; y_p=xQ_n(x)e^{cx}\\\\
c=a=b\;:\;y_p=x^2Q_n(x)e^{cx}
\end{matrix}\right.$$

 

위 공식에서, $c=0$인 경우 지수함수가 사라지고 다항식만 남게 됩니다. 또한 $P_n(x),Q_n(x)$ 에서 첨자 $n$은 최고차항이 $n$인 다항식이라는 뜻입니다. 예제를 풀며 뜻을 깨우쳐 봅시다.

 

 

예제 1) 미분방정식 $y''+y'-2y=18xe^x$ 의 해를 구하여라.

 

인수분해하여 미분연산자 표기로 쓰면

 

$$(D-1)(D+2)y=18xe^x=(D-a)(D-b)y=P_n(x)e^{cx}$$

 

그러면 $a=c=1$ 이고 $b=-2$ 입니다. 따라서 특수해는 다음과 같고 , 이왕 $y',y''$ 까지 내리 구합니다.

 

$$y_p=xe^{cx}Q_n(x)=xe^x(Ax+B)=e^x\left ( Ax^2+Bx \right ) \\
y_p'=e^x\left ( 2Ax+B+Ax^2+Bx \right ) \\
y_p''=e^x\left ( Ax^2+Bx+4Ax+2B+2A \right )$$

 

원래 미분방정식에 대입해서 계수 $A,B$를 구합니다.

 

$$y_p''+y_p'-2y_p'=e^x\left ( 6Ax+3B+2A \right )=18xe^x\;\;\rightarrow\;\;A=3\;,\;B=-2 \\\\
y_p=\left ( 3x^2-2x \right )e^x$$

 

보조함수는 우변이 0일 때의 미분방정식의 해로

 

$$y_c''+y_c'-2y_c=0\;\;\rightarrow\;\;y_c=e^x  \\\\
y=y_p+y_c=\left ( 3x^2-2x+1 \right )e^x$$

 

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예제 2) 미분방정식

$$y''+y'-2y=x^2-x$$ 의 해를 구하여라.

 

우변이 오직 다항식인 경우입니다. 이 때는 지수함수의 지수가 0인 채로 숨어 있다고 생각하고 접근해야 합니다. 미분연산자 표기로 바꾸면 $a=-2,b=1,c=0$ 이 되어

 

$$\begin{align*}
(D+2)(D-1)y&=x^2-x=(D-a)(D-b)y=P_n(x)e^{cx} 
\\\\&y_p=Q_n(x)=Q_2(x)=Ax^2+Bx+C
\\\\&y_p'=2Ax+B 
\\\\&y_p''=2A
\end{align*}$$

 

이를 원래 미분방정식에 대입하면 $A,B,C$ 값을 얻습니다.

 

$$y_p''+y_p'-2y_p=\left ( 2A+2Ax+B-2Ax^2-2Bx-2C \right )=x^2-x \\\\
\;\;\rightarrow \;\; A=-\frac{1}{2}=C\;,\;B=0$$

 

우변이 0일 때의 보조함수까지 구하고, 이를 특별해와 선형결합으로 묶어 최종적인 일반해를 구합니다.

 

$$y=y_p+y_c=-\frac{1}{2}\left ( x^2+1 \right )+e^x$$