Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
본문 바로가기
미분방정식(Differential equation)/1,2계 기초 미분방정식

계수가 상수인 2계 선형 비동차 미분방정식 4) 우변이 다항식 또는 다항식과 지수함수의 곱인 경우

by Gosamy 2020. 12. 20.
반응형

이번에는 우변에 다항식만 존재하거나 다항식과 지수함수의 곱 형태의 함수가 존재할 때 2계 선형 비동차 미분방정식을 푸는 방법을 알아봅시다.

 

정리(D.E) 2.6

n차 다항식 Pn(x) 에 대하여 (Da)(Db)y=Pn(x)ecx 의 특별해는
{ca,cb:yp=Qn(x)ecxc=a,ab:yp=xQn(x)ecxc=a=b:yp=x2Qn(x)ecx

 

위 공식에서, c=0인 경우 지수함수가 사라지고 다항식만 남게 됩니다. 또한 Pn(x),Qn(x) 에서 첨자 n은 최고차항이 n인 다항식이라는 뜻입니다. 예제를 풀며 뜻을 깨우쳐 봅시다.

 

 

예제 1) 미분방정식 y+y2y=18xex 의 해를 구하여라.

 

인수분해하여 미분연산자 표기로 쓰면

 

(D1)(D+2)y=18xex=(Da)(Db)y=Pn(x)ecx

 

그러면 a=c=1 이고 b=2 입니다. 따라서 특수해는 다음과 같고 , 이왕 y,y 까지 내리 구합니다.

 

yp=xecxQn(x)=xex(Ax+B)=ex(Ax2+Bx)yp=ex(2Ax+B+Ax2+Bx)yp=ex(Ax2+Bx+4Ax+2B+2A)

 

원래 미분방정식에 대입해서 계수 A,B를 구합니다.

 

yp+yp2yp=ex(6Ax+3B+2A)=18xexA=3,B=2yp=(3x22x)ex

 

보조함수는 우변이 0일 때의 미분방정식의 해로

 

yc+yc2yc=0yc=exy=yp+yc=(3x22x+1)ex

 


 

예제 2) 미분방정식

y+y2y=x2x 의 해를 구하여라.

 

우변이 오직 다항식인 경우입니다. 이 때는 지수함수의 지수가 0인 채로 숨어 있다고 생각하고 접근해야 합니다. 미분연산자 표기로 바꾸면 a=2,b=1,c=0 이 되어

 

(D+2)(D1)y=x2x=(Da)(Db)y=Pn(x)ecxyp=Qn(x)=Q2(x)=Ax2+Bx+Cyp=2Ax+Byp=2A

 

이를 원래 미분방정식에 대입하면 A,B,C 값을 얻습니다.

 

yp+yp2yp=(2A+2Ax+B2Ax22Bx2C)=x2xA=12=C,B=0

 

우변이 0일 때의 보조함수까지 구하고, 이를 특별해와 선형결합으로 묶어 최종적인 일반해를 구합니다.

 

y=yp+yc=12(x2+1)+ex

댓글