이번에는 우변에 다항식만 존재하거나 다항식과 지수함수의 곱 형태의 함수가 존재할 때 2계 선형 비동차 미분방정식을 푸는 방법을 알아봅시다.
정리(D.E) 2.6
n차 다항식 Pn(x) 에 대하여 (D−a)(D−b)y=Pn(x)ecx 의 특별해는
{c≠a,c≠b:yp=Qn(x)ecxc=a,a≠b:yp=xQn(x)ecxc=a=b:yp=x2Qn(x)ecx
위 공식에서, c=0인 경우 지수함수가 사라지고 다항식만 남게 됩니다. 또한 Pn(x),Qn(x) 에서 첨자 n은 최고차항이 n인 다항식이라는 뜻입니다. 예제를 풀며 뜻을 깨우쳐 봅시다.
예제 1) 미분방정식 y″+y′−2y=18xex 의 해를 구하여라.
인수분해하여 미분연산자 표기로 쓰면
(D−1)(D+2)y=18xex=(D−a)(D−b)y=Pn(x)ecx
그러면 a=c=1 이고 b=−2 입니다. 따라서 특수해는 다음과 같고 , 이왕 y′,y″ 까지 내리 구합니다.
yp=xecxQn(x)=xex(Ax+B)=ex(Ax2+Bx)y′p=ex(2Ax+B+Ax2+Bx)y″p=ex(Ax2+Bx+4Ax+2B+2A)
원래 미분방정식에 대입해서 계수 A,B를 구합니다.
y″p+y′p−2y′p=ex(6Ax+3B+2A)=18xex→A=3,B=−2yp=(3x2−2x)ex
보조함수는 우변이 0일 때의 미분방정식의 해로
y″c+y′c−2yc=0→yc=exy=yp+yc=(3x2−2x+1)ex
예제 2) 미분방정식
y″+y′−2y=x2−x 의 해를 구하여라.
우변이 오직 다항식인 경우입니다. 이 때는 지수함수의 지수가 0인 채로 숨어 있다고 생각하고 접근해야 합니다. 미분연산자 표기로 바꾸면 a=−2,b=1,c=0 이 되어
(D+2)(D−1)y=x2−x=(D−a)(D−b)y=Pn(x)ecxyp=Qn(x)=Q2(x)=Ax2+Bx+Cy′p=2Ax+By″p=2A
이를 원래 미분방정식에 대입하면 A,B,C 값을 얻습니다.
y″p+y′p−2yp=(2A+2Ax+B−2Ax2−2Bx−2C)=x2−x→A=−12=C,B=0
우변이 0일 때의 보조함수까지 구하고, 이를 특별해와 선형결합으로 묶어 최종적인 일반해를 구합니다.
y=yp+yc=−12(x2+1)+ex
'미분방정식(Differential equation) > 1,2계 기초 미분방정식' 카테고리의 다른 글
2계 선형 동차 상미분방정식의 해공간의 기저가 2개임을 증명 [Prove that the Second-order Linear ODE has at most two basis of its solution basis] (0) | 2021.12.22 |
---|---|
계수가 상수인 2계 선형 비동차 미분방정식 5) 우변에 여러 함수가 존재할 때 (0) | 2020.12.20 |
계수가 상수인 2계 선형 비동차 미분방정식 3) 우변이 sin, cos 함수인 경우 (0) | 2020.12.19 |
계수가 상수인 2계 선형 미분방정식 2) 우변이 상수이거나 지수함수일 때 (0) | 2020.12.15 |
계수가 상수인 2계 선형 동차 미분방정식 1 ) 우변이 0일 때 (0) | 2020.12.14 |
댓글