계수가 상수인 2계 선형 비동차 미분방정식 5) 우변에 여러 함수가 존재할 때

앞서서 우변에 삼각함수, 다항함수, 지수함수 등이 존재할 때의 미분방정식을 살펴보았습니다. 이번에는 그것들이 우변에 합쳐져 존재할 때 해를 어떻게 구하는지 논의해 보도록 하겠습니다.

 

정리($D.E$) 2.7

2계 선형 비동차 미분방정식
$$ay''+by'+cy=f(t)+g(t)$$ 의 특수해는 우변을 각각 분리한 두 개의 미분방정식
$$ay''+by'+cy=f(t)\;\;,\;\;ay''+by'+cy=g(t)$$ 의 특수해를 각각 $y_{p1},y_{p2}$ 라 하였을 때 $y_{p1}+y_{p2}$ 이다.

 

증명) $$ay''+by'+cy=f(t)\;\;\;\cdots \;\;(1)\\ ay''+by'+cy=g(t)\;\;\;\cdots \;\;(2)$$ 의 특수해를 각각 $y_{p1},y_{p2}$ 라 하고 이를 대입한 다음 두 식의 양변을 각각 더하면
$$\begin{align*} &\left ( ay_{p1}''+by_{p1}'+cy_{p1} \right )+\left ( ay_{p2}''+by_{p2}'+cy_{p2} \right ) \\\\&=a\left ( y_{p1}''+y_{p2}'' \right )+b\left ( y_{p1}'+y_{p2}' \right )+c\left ( y_{p1}+y_{p2} \right ) \\\\&=f(t)+g(t) \end{align*}$$
따라서 $ay''+by'+cy=f(t)+g(t)$ 의 특수해는 $(1)$과 $(2)$ 각각의 특수해의 합과 같다.

 

증명을 참고하시면 알 수 있겠지만, 이 원리는 일반적으로 확대하여 우변에 두 개의 항 $f(t),g(t)$가 있을 때 뿐만 아니라 3개 이상의 여러 항이 있을 때도 적용됩니다.

 

예제 1) 미분방정식 $y''+y'-2y=e^x+\mathrm{sin}\,2x$ 의 해를 구하여라.

 

해법은 먼저 우변이 0인 동차 방정식을 푼 다음, 우변이 각각 $e^x$, $\mathrm{sin}\,2x$ 인 두 개의 비동차 방정식으로 나누어서 각각 푼 뒤 해를 얻어 더해주면 됩니다.

 

$$(D+2)(D-1)y=0\;\;\rightarrow \;\;y=Ae^x+Be^{-2x}$$

 

 

i) $(D+2)(D-1)y=e^x$ 인 경우

 

$y_p=xQ_n(x)e^x=kxe^x$ 라 놓으면, $y_p'=k(x+1)e^x$ 이고 $y_p''=k(x+2)e^x$ 이다. 대입하면

$$y_p''+y_p'-2y_p=e^x\left \{ k(x+2)+k(x+1)-2kx \right \}=3ke^x=e^x\\ \;\;\rightarrow \;k=\frac{1}{3}, \;\; \therefore \;\;y_p=\displaystyle\frac{1}{3}xe^x$$

 

 

ii) $(D+2)(D-1)y=\mathrm{sin}\,2x$

$$(D+2)(D-1)Y=e^{2ix}\cdot P_n(x)=e^{2ix}\cdot 1$$
$Y_p=Q_0(x)e^{2ix}=ke^{2ix}$ 라 놓으면 $Y_p'=2kie^{2ix}\;,\;Y_p''=-4ke^{2ix}$ 이고, 대입하면

 

$$Y_p''+Y_p'-2Y_p=e^{2ix}\\\\ e^{2ix}(-4k+2ix-2k)=e^{2ix}(2ki-6k)=e^{2ix}$$

 

$$2ki-6k=1\;\;\rightarrow\;\;k=\displaystyle\frac{1}{2i-6}=\displaystyle\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{i-3} \right )\left ( \displaystyle\frac{i+3}{i+3} \right )=-\displaystyle\frac{1}{20}(i+3)$$

 

$$\therefore \;\;Y_p=-\displaystyle\frac{1}{20}(i+3)e^{2ix}=\displaystyle\frac{1}{20}(i+3)\left ( \mathrm{cos}\,2x +i\,\mathrm{sin}\,2x \right )$$

 

$$y_p=\mathrm{Im}[Y_p]=-\displaystyle\frac{1}{20}(\mathrm{cos}\,2x+3\mathrm{sin}\,2x)$$

 

따라서 두 특수해와 보조해를 더한 것이 일반해입니다.

 

$$y=Ae^x+Be^{-2x}+\frac{1}{3}xe^x-\frac{1}{20}(\mathrm{cos}\,2x+3\mathrm{sin}\,2x)$$