계수가 상수인 2계 선형 비동차 미분방정식 3) 우변이 sin, cos 함수인 경우

이번에는 복소 지수함수(Complex Exponentials)를 사용하여 실수부분, 허수부분을 취해 해를 구하는 방법을 소개할 것입니다. 우변에 사인이나 코사인이 등장하게 된다면 허수단위 i를 지수에 포함하는 지수함수가 코사인과 사인의 각 부분을 가지는 오일러 공식

$$e^{ix}=\mathrm{cos}\,x+i\,\mathrm{sin}\,x $$

 

으로 쪼개질 수 있다는 수학적 사실에 기반한 것입니다. 그래서 우변에 사인, 코사인이 등장했을 때는 우변을 지수함수로 바꿔서 푸는 과정이 등장하기 때문에, 우변이 지수함수일 때 2계 선형 미분방정식의 풀이법을 반드시 숙지하고 있어야 합니다.

 

 

정리($D.E$) 2.5

$(D-a)(D-b)y=\left\{\begin{matrix}
\;k\,\mathrm{sin}\,cx\\ 
\;k\,\mathrm{cos}\,cx
\end{matrix}\right.$ 의 특별해는, 주어진 방정식을 먼저
$$(D-a)(D-b)Y=ke^{icx}$$ 으로 치환한 뒤 이 방정식의 특별해 $Y_p$의 실수 또는 허수부분을 취하여 얻는다.

 

 

예제 1) 미분방정식 $y''-2y'+y=2\,\mathrm{cos}\,x$ 의 해를 구하여라.

 

이 방정식 대신 다음의 방정식을 먼저 고려합니다.

 

$$\left ( D^2-2D+1 \right )Y=2e^{ix}\;\;(c=i,a=b=1) \\\\
Y_p=ke^{ix}\;\;\rightarrow\;\; ke^{ix}(-1-2i+1)=-2ike^{ix}=2e^{ix} $$

$k=i$ 이고, 그러면 다시 원래 방정식으로 되돌릴 때 우리가 풀고 싶은 미분방정식의 우변이 $\mathrm{cos}\,x$ 이므로, 우변의 지수함수에서 실수부분을 취해야 합니다.

 

$$Y=Y_c+Y_p=(Ax+B)e^x+ie^{ix}\\\\

y=\mathrm{Re}[Y]=(Ax+B)e^x+\mathrm{Re}[i\,\mathrm{cos}-1\cdot \mathrm{sin}\,x] 
=(Ax+B)e^x-\mathrm{sin}\,x$$

 

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예제 4) 진동자와 같이 외부에서 가해지는 힘(driving force)이 각진동수 $\omega '$을 포함하는 함수로 주어졌을 때, 다음과 같은 미분방정식의 특별해를 구하여라.

 

$$\frac{d^2y}{dt^2}+2b\frac{dy}{dt}+\omega^2y=F\mathrm{sin}\,\omega't $$

 

우변이 사인함수이니 복소수 지수 방법을 이용해 봅니다.

$$\frac{d^2Y}{dt^2}+2b\frac{dY}{dt}+\omega^2Y=(D-\alpha)(D-\beta)Y=Fe^{i\omega't}\\\\

i\omega'\neq \alpha\;,\;i\omega'\neq \beta\;\;\rightarrow\;\;Y_p=ke^{i\omega't}$$

 

특별해를 대입하여 상수 $k$값을 구합니다.

 

$$\left ( \omega'^2+2bi\omega'+\omega^2 \right )ke^{i\omega't}=Fe^{i\omega't}\;\;,\;\;\therefore\;\;
k=\frac{F}{\omega^2-\omega'^2+2b\omega'i}$$

 

$k$의 분자를 정리하기 위해 치환할 것이고, 다음과 같이 지수함수가 생길 수 있도록 삼각함수를 만드는 식의 변형을 시작합니다. $\omega^2-\omega'^2=A\;\;,\;\;2b\omega'=B$ 라 하면

 

$$\begin{align*}
k=\frac{F}{A+Bi}&=\frac{F}{A+Bi}\times \frac{A-Bi}{A-Bi}
\\&=\frac{F}{A^2+B^2}\sqrt{A^2+B^2}\left ( \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}-\frac{Bi}{\sqrt{A^2+B^2}} \right )
\\&=\frac{F}{\sqrt{A^2+B^2}}\left ( \mathrm{cos}\,\theta-i\mathrm{sin}\,\theta \right )
\\&=\frac{F}{\sqrt{A^2+B^2}}\;e^{-i\theta}
\end{align*}$$

 

이제 $k$값을 대입하여 $Y_p$의 값을 구한 뒤, 허수 부분을 취해주면 원하는 일반해를 얻습니다.

 

$$Y_p=ke^{i\omega't}=\frac{F}{\sqrt{A^2+B^2}}\cdot e^{i\omega't}
=\frac{F}{\sqrt{\left ( \omega^2-\omega'^2 \right )^2+4b^2\omega'^2}}\;e^{i(\omega't-\theta)}$$

 

따라서

 

$$y_p=\mathrm{Im}[Y_p]=\frac{F\,\mathrm{sin}\left ( \omega't-\theta \right )}{\sqrt{\left ( \omega^2-\omega'^2 \right )^2+4b^2\omega'^2}}$$