반응형 특수함수(Special functions)5 연관 르장드르 다항식, 연관 르장드르 함수(Associated Legendre Polynomial , Function) 연관 르장드르 다항식은 르장드르 다항식의 일반화판으로, 구면 좌표계에서 편미분방정식을 변수분리법으로 풀 때 방위각 파트에서 방위각의 주기성 때문에 $m$ 값이 정수여야 한다는 조건이 붙게 되는데 그 때 $m=1$일 때가 르장드르 다항식, $m$이 일반적인 정수값을 가질 때는 연관 르장드르 다항식이라 부릅니다. 르장드르 다항식은 다음과 같은 두 가지 방법으로 획득할 수 있습니다. (1) 르장드르 미분 방정식을 푸는 경우 (2) 구면좌표계에서 편미분방정식을 변수분리법으로 푸는 경우 (1)이 조금 더 근원적인 방법이고, 2)는 응용적 측면에서의 획득법에 가깝습니다. 그래서 연관 르장드르 방정식을 정리할 때도 우선 미분방정식에서 출발하려 합니다. 1. 연관 르장드르 미분방정식 1) 미분방정식 다음의 2계 선형 .. 2022. 4. 26. 르장드르 방정식의 급수해와 르장드르 다항식(Legendre equation and Legendre polynomials) 수학과도 아닌데, 그렇다고 공대에서도 하지 않지만, 물리학에서 각별히 격하게 파헤쳐 그 성질들을 탐구하는 몇몇 함수들이 있습니다. 대부분 특수함수라고 부르는 대상들로, 감마함수, 베셀함수, 르장드르 함수, 에르미트 함수, 구면조화함수, 베타함수 등이 있습니다. 이 밖에도 매우 많습니다. 그래서 수리물리학 책들을 보면 다른 전공에서 공부하는 책과 달리 주로 미분방정식 챕터를 보면 해를 구하는 과정에서 등장하는 여러 함수들이 한 챕터씩 책을 차지하고 있습니다. 일전에 라플라스 방정식을 구면좌표계에서 풀 때 변수분리법을 이용하면 극각(polar angle part)부분의 해에서 연관 르장드르 다항식을, 그리고 만약 m=0인 방정식이라면 르장드르 다항식을 얻을 수 있다고 언급한 적이 있습니다. 이처럼 르장드.. 2022. 2. 16. 베셀 방정식과 베셀 함수의 급수해(Bessel Equation and Bessel Function with series solution) 본 글은 제가 매우 중요한 베셀 함수를 바닥부터 꼭대기까지 쌓아 올리기 위해 이를 갈아 만들었습니다. 설명이 매우 자세하고 친절하지만 중간 중간에 여러분들이 모르는 개념, 곧 학습이 선행되어야 하는 개념이 마구 튀어나올 가능성이 높습니다. 가능한 한 그 링크를 타고 선행되어야 할 개념을 공부한 뒤 돌아오는 것을 추천합니다. 물론 시간은 오래 걸리겠지요. 그렇지만 이 블로그 글은 상당히 친절하며, 겉핥기로 공부하는 것은 추천드리지 않습니다. 그러면 절대로 수학을 잘 할 수는 없기 때문입니다. 베셀 방정식은 프로베니우스의 방법을 적용해 얻을 수 있는 가장 전형적인 2계 선형 동차 상미분방정식입니다. 급수해를 통해 해를 구했을 때 나오는 함수가 베셀 함수인데, 수학과는 미분방정식에서, 물리학과와 공대는 각각 .. 2021. 12. 24. 감마함수의 중요한 공식 $\Gamma(\displaystyle1/2)=\sqrt{\pi}$ 증명 감마함수와 관련된 중요한 식이 하나 있습니다. 보조정리($S.F$) 1.2 $$\Gamma\left( \frac{1}{2} \right)=\sqrt{\pi}$$ $$\Gamma(p)\Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\mathrm{sin}\pi p}$$ 이 식은 종종 다른 함수나 분야를 공부하다가 가끔씩 반갑게 우리를 맞이해줄 때가 있습니다. 복소적분을 할 때 등장하는 것으로 유명한데, 복소적분을 통해 조금 복잡하게 값을 구하는 것이 가능하기는 하지만 첫번째 식은 감마함수의 정의식으로도 증명 가능하고 지금 이것을 해보려고 합니다. 두번째 식의 증명은 복소적분이 필요하니 복소 해석학 포스팅에서 나중에 다루겠습니다. 증명) 감마함수의 정의에 의해 $$\Gamma\left( \displaystyle\fr.. 2021. 12. 21. 감마함수란 무엇인가? (Gamma Function) 고등학교 수학 과목인 확률과 통계에 나오는 계승(factorial)은 순열이나 조합을 셈할 때 자주 사용하는 것으로 흔히 기호 '!'로 표현하게 됩니다. 예를 들어 $n$의 팩토리얼은 $n!=n(n-1)(n-2) \cdots 3\cdot 2\cdot 1$과 같이 계산할 수 있습니다. 이 때 좌변에 어떤 값을 넣어 !를 취하면 우변에 새로운 값들이 나온다는 것을 보았을 때, 이는 함수로 생각할 수도 있어서 이것을 '계승함수(factorial function)' 이라고 부르기도 하는데, 감마함수는 이 계승함수의 정의역이 자연수였던 것을 복소수로 확장한 것을 말합니다. 그래서 감마함수는 복소 해석학에서 자주 등장하며, 테일러 전개에서 등장하는 계승 함수와도 연결성을 가지고, 베셀함수(Bessel Functio.. 2021. 12. 21. 이전 1 다음 반응형
