<들어가기에 앞서 주의할 점>
본 글은 제가 매우 중요한 베셀 함수를 바닥부터 꼭대기까지 쌓아 올리기 위해 이를 갈아 만들었습니다. 설명이 매우 자세하고 친절하지만 중간 중간에 여러분들이 모르는 개념, 곧 학습이 선행되어야 하는 개념이 마구 튀어나올 가능성이 높습니다. 가능한 한 그 링크를 타고 선행되어야 할 개념을 공부한 뒤 돌아오는 것을 추천합니다. 물론 시간은 오래 걸리겠지요. 그렇지만 이 블로그 글은 상당히 친절하며, 겉핥기로 공부하는 것은 추천드리지 않습니다. 그러면 절대로 수학을 잘 할 수는 없기 때문입니다.
베셀 방정식은 프로베니우스의 방법을 적용해 얻을 수 있는 가장 전형적인 2계 선형 동차 상미분방정식입니다. 급수해를 통해 해를 구했을 때 나오는 함수가 베셀 함수인데, 수학과는 미분방정식에서, 물리학과와 공대는 각각 수리물리학과 공업수학에서, 그리고 또한 전자기학을 공부하면서 과학 분야에서 등장하는 녀석으로 많은 학부생들을 처참히 박살내고 괴롭힌 주범입니다.
급수해를 통해 방정식을 푸는 관점은 나름대로의 말을 붙여보자면 수학적 관점에 가깝습니다. 과학적 관점인 전자기학 등 과학에서 베셀 함수는 베셀 방정식 자체를 풀기보다도 원통 좌표계에서 편미분방정식을 변수분리법으로 풀 때 강한 첫인상을 남겨주는 편입니다. 개인적으로 물리학과가 무찔러야 할 3대 수학 보스가 미분방정식, 선형대수학, 이를 제외한 수리물리학(또는 미적분학)이라 보는데 보통 특수함수를 수리물리에서 마주치게 되지만, 실제로 몇몇 특수함수는 미분방정식의 개념이기에 꼭 미분방정식을 심도있게 학습해야 합니다.
오늘은, 베셀 함수를 베셀 방정식으로부터 프로베니우스 방법을 통해 얻어내려고 할 것입니다. 원래 베셀함수의 기원은 베셀 방정식이라는 상미분방정식이라 보는 것이 좀 더 적절합니다. 지금은 원통 좌표계에서 편미분방정식을 변수분리법으로 푸는 것이 아님에 유의하시기 바랍니다.
1. 베셀 방정식과 베셀 함수
방정식과 해의 모양을 먼저 지르고 가도록 하겠습니다.
다음의 2계 선형 동차 상미분방정식을 '베셀 방정식(Bessel's Equation)'이라 부른다.
$$x^2y''+xy'+\left( x^2-\nu^2 \right)y=0 \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(1) \\\\\\ x(xy')'+\left( x^2-\nu^2 \right)y=0\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(2)$$
이 미분방정식의 첫번째 해 $y_1(x)$를 차수가 $\nu$인 '제 1종 베셀 함수(Bessel Function of the first kind)'라고 부르며 그 형태는 다음과 같다.
$$y_1(x)=J_{\nu}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n+\nu+1)}\left( \frac{x}{2} \right)^{2n+\nu}\;\;\;\;\;\left( \nu\in \mathbb{R} \right)\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(3)$$
베셀 방정식이 두 줄로 표현되어 있는데, 미분을 묶느냐, 그렇지 않느냐의 차이만 존재하고 둘은 같은 식입니다.
또한 첨자 $\nu$는 '누(nu)'라고 읽는 그리스 문자입니다. 1 베셀 함수의 첨자인 $\nu$는 베셀 함수의 차수라 부르고, 일반적 범위는 적은 대로 실수이지만 정수인 경우를 고려해야 하는 할 때가 잦습니다. 정수임을 강조하기 위해선 $\nu$ 대신 $m$을 사용합니다.
2. 프로베니우스 방법
베셀 방정식을 풀기 위해 급수해를 가정하고, 두 번까지 미분해서 식에 대입해 줍니다.
$$y=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+r}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(4)$$
$$y'=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_nx^{n+r-1}\;\;,\;\;y''=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-2}$$
$$\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r}+\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_nx^{n+r}+
\left( x^2-\nu^2 \right)\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+r}=0$$
$n=0$일 때 $x$의 최저차수 계수끼리 뽑아 써보면
$$a_0x^r\left\{ r(r-1)+r-\nu^2 \right\}+\sum_{n=1}^{\infty}\left\{ (n+r)(n+r-1)+(n+r)-\nu^2 \right\}\,a_nx^{n+r}=0\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(4)$$
여기서 $x^r$의 계수가 0이 된다는 식을 만들면 지표방정식은 $r(r-1)+r-\nu^2=0$ 이 되어, $a_0\neq 0$이라 두면 지표방정식의 근은
$$r^2=\nu^2 \;\;\;\Rightarrow \;\;\; r=\pm \nu\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(5)$$
를 얻습니다.
마찬가지로 $n=1$일 때 $x^{r+1}$의 계수를 조사합시다. 식 $(4)$의 시그마 부분에서 $n=1$ 때만 떼어 놓고 보는 것이 빠르겠죠?
$$a_1\left\{ r(r+1)+(r+1)-\nu^2 \right\}x^{r+1}=0$$
$$a_1(r+1-\nu)(r+1+\nu)=0\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(6)$$
그런데 $(5)$에 의하면 $r^2=\nu^2$ 이므로, $(6)$을 만족하려면 필히 $a_1=0$ 이어야 합니다.
이렇게 $n=1,2,3,\cdots $ 일 때 모든 계수들이 0이 된다는 식을 세우면, $n$번째 $x^{n+r}$이 계수에서 발생하는 지표방정식을 풀었을 때 계수끼리의 점화 관계는
$$a_n=\frac{1}{(n+r)^2-\nu^2}\,a_{n-2}=-\frac{1}{n^2+2nr}\,a_{n-2}\;\;\;\;\;(n\geq 2)\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(7)$$
$$\Rightarrow \;\;\; a_{n+2}=\frac{1}{(n+2)(2\nu+n+2)}\,a_n \;\;\;\;\;(n\geq 0)\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(8)$$
그러면 이제 $(6)$의 $r=\pm \nu$ 의 두 가지 상황에 대해 고찰할 것입니다.
1) $r=\nu$ 이고 $\nu \in \mathbb{Z}$
일단 $\nu$가 정수인 경우를 먼저 생각할 겁니다. 그 까닭은 최후에 모두 밝혀지겠지만 간단히 말하면 이 때 지표방정식의 근 $r=\pm \nu$ 로부터 선형 독립인 해 두개가 발생하지 않기 때문입니다. 그러면 두번째 해를 구할 다른 길을 찾아야겠죠? 그건 그 때 가서 하고, 계산을 해봅시다. 그리고 $\nu $가 정수인 경우는 특별히 $\nu =m$ 으로 표기합니다.
점화관계식 $(7), (8)$을 보면 두 칸씩 차이가 나니 홀수항끼리, 짝수항끼리 연결됩니다. 근데 위에서 $a_1=0$ 이었으므로 $a_3=a_5=\cdots =0$ 이 되어 홀수 계수는 고려할 필요가 없습니다. $n$이 짝수인 경우는, 짝수임을 강조하기 위해 $n$대신 $2n$을 사용하면
$$a_{2n}=\frac{(-1)^m\,m!}{2^{2n}\,n!(n+m)!}\,a_0$$
를 얻고,
$$a_0=\frac{1}{2^m\,m!}\;(\neq 0)$$
으로 잡습니다. 그러면
$$\begin{align*}
&a_2=-\frac{1}{2^2(1+m)}\,a_0=-\frac{m!}{2^2\cdot1!(1+m)!}\,a_0 \\\\
&a_4=-\frac{1}{2^3(2+m)}\,a_2=\frac{1}{2^4\cdot2!(1+m)(2+m)}\,a_0=\frac{m!}{2^4\cdot 2!(2+m)!}\,a_0 \\\\
&a_6=-\frac{1}{2\cdot 3!(3+m)}\,a_4=-\frac{1}{2^6\cdot3!(1+m)(2+m)(3+m)}\,a_0=-\frac{m!}{2^6\cdot 2!(3+m)!}\,a_0
\end{align*}$$
등등 짝수항들을 구할 수 있고, 이를 $(4)$에 대입하면
$$\begin{align*}
y&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+m}=a_0x^m+a_2x^{m+2}+a_4x^{m+4}+\cdots \\\\
&=a_0\,x^m\,m!\left\{ \frac{1}{m!}-\frac{1}{(m+1)!}\left( \displaystyle \frac{x}{2} \right)^2+
\frac{1}{2!(m+2)!}\left( \displaystyle \frac{x}{2} \right)^4-
\frac{1}{3!(m+3)!}\left( \displaystyle \frac{x}{2} \right)^6 \right\} \\\\&
=a_0\,\left( \frac{x}{2} \right)^m \,2^m\,m!\left\{ \frac{1}{m!}-\frac{1}{(m+1)!}\left( \displaystyle \frac{x}{2} \right)^2+
\frac{1}{2!(m+2)!}\left( \displaystyle \frac{x}{2} \right)^4-
\frac{1}{3!(m+3)!}\left( \displaystyle \frac{x}{2} \right)^6 \right\} \\\\&
=a_0\,2^m\,m!\sum_{n=0}^{\infty}\,(-1)^n\,\frac{1}{n!(n+m)!}\left( \frac{x}{2} \right)^{2n+m}
\end{align*}$$
이 때의 $y$를 차수가 $m$인 '제 1종 베셀 함수(Bessel Function of the first kind)'라 합니다. 더욱 깔끔하게 정리하면 일반적인 표현은
$$y_1(x)=J_{m}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n+m+1)}\left( \frac{x}{2} \right)^{2n+m}\;\;\;\;\;\left( m\in \mathbb{Z} \right)$$
2) 그러면 $r=-m \;\;\;(m\in \mathbb{Z})$ 일 때는
$$J_{-m}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n-m+1)}\left( \frac{x}{2} \right)^{2n-m}\;\;\;\;\;\left( m\in \mathbb{Z} \right)$$
인데, $J_{-m}(x)$와 $J_{m}(x)$ 는 선형독립이 아닙니다. 2 우선 증명은 다음 글에서 할 것인데, 이것을 어떻게 해석해야 할까요?
복습 겸, 다시 한번 되돌아 봅시다. 2계 선형 동차 미분방정식은 기저를 2개 구해야 끝이 납니다. 보통 기저가 2개 있어야 일반해를 쓸 수 있기 때문이죠. 그런데 계수가 상수인 미분방정식은 그냥 미분연산자 등을 사용해 뚝딱 계산하면 되지만, 베셀 방정식같은 고급 상미분방정식에서 지금처럼 급수해를 가정하여 프로베니우스 방법을 쓰는 경우에는 미분연산자 따위는 쓰지 못하고 지표방정식을 풀게 됩니다.
지표방정식을 풀었을 때 $r$의 값은 이차방정식이까 서로 다른 두 실근, 중근, 허근3이 나올 수 있습니다. 이 세가지 경우의 수에 따라 두번째 해의 형태가 첫번째 해랑 유사할수도, 다를 수도 있습니다.근데 주어진 미분방정식이 정상점을 가지는 경우에는 그 결과가 요렇게 나오고 정상점이 아니라 정칙 특이점을 가지면 결과가 요렇게4 나옴을 이미 설명했습니다.
주어진 베셀 방정식은 상술했듯 $x=0$ 에서 정칙 특이점을 가집니다. 그런데 두 근의 차가 정수만큼 나는 경우에는 제가 어렵다고 하면서 두번째 해가 첫번째 해처럼 구할 수 없음을 설명했었죠? 그래서, 1)과 2)에서 다룬 것처럼 $r=\pm m$을 풀 때 $m\in \mathbb{Z}$ 라면 두번째 해를 구해야 일반해를 쓸 수 있고, 만일 $m\notin \mathbb{Z}$ 라면 원래 하던대로 첨자는 $\nu$라 쓰며 $r=\nu,\,-\nu$ 두 경우에 나오는 베셀 함수들은 서로 선형 독립이 되어, 선형 결합으로 해를 쓸 수 있습니다.
이제 깔끔히 결과를 정리해봅시다.
정리($S.F$) 3.1
베셀 방정식의 첫번째 해를 베셀 함수라 하고, 다음과 같다.
$$J_{\nu}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n+\nu+1)}\left( \frac{x}{2} \right)^{2n+\nu}$$
① $\nu=\notin \mathbb{Z}$ 인 경우, 두번째 해는
$$J_{-\nu}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!\,\Gamma(n-\nu+1)}\left( \frac{x}{2} \right)^{2n-\nu}\;\;\;\;\;\left( \nu\notin \mathbb{Z} \right)$$
로 주어지며 $J_\nu(x)$와 $J_{-\nu}(x)$는 선형 독립이다. 따라서 일반해는
$$y=AJ_{\nu}(x)+BJ_{-\nu}(x)$$
로 쓸 수 있다.
② $\nu=m\in \mathbb{Z}$ 인 경우, 지표방정식에서 두번째 해를 찾으려 시도하면 실패하고 그 까닭은 $J_{-m}(x)=(-1)^mJ_m(x)$ 가 되기 때문이다. 즉 $J_m(x)$ 과 $J_{-m}(x)$ 은 선형 종속이다. 이 때 두번째 해는 두번째 해 공식을 통해 찾을 수 있다.
보통의 경우, 특히 물리(전자기학) 문제에서 $m\in \mathbb{Z}$ 로 주어지는 경우가 많아서 ①인 경우를 따질 때가 훨씬 많을 겁니다.
②에서 나오는 새로운 형태의 두번째 해는 '제 2종 베셀함수' 또는 '뉴이만 함수(Neumann function)'라고 부르는데, 학부 수준에서 거의 마주칠 일은 없으니 나중에 다룰 것입니다. 중요한 것은 뉴이만 함수가 뭔지가 아니라 위 박스의 정리가 하는 말이 무슨 뜻인지 감을 잡아야 한다는 것입니다. 이 정리를 이해한다는 것은 미분방정식의 세계와 구조를 파악하고 있으며 기초부터 고급까지 알맞게 벽돌을 쌓아 올렸다는 것이기 때문입니다.
- 여담으로, 이 글을 작성중인 시기가 코로나19 오미크론 변이가 막 확산되고 있는 시점입니다. 원래 오미크론 변이가 발견되었을 때 알파벳 순서 상 크시(xi)나 누(nu)를 사용하려고 했는데, 전자는 지역(중국) 유사성을, 후자는 새로운(new) 바이러스의 발견이라는 무의식적 인식을 회피하기 위해 오미크론을 선택했다고 합니다. [본문으로]
- 사실 이 결과는 2계 선형 미분방정식의 급수해 꼴에 관한 글에서 모든 가짓수를 검토한 바 있기에 그 학습이 선행되었다면 예측 가능하지만, 해당 내용은 평범한 학부생 수준으로 보기에는 높습니다. 그래서 그 글을 Skip 하셨을텐데, 그럼 일단 이 글을 끝까지 읽어봅시다. [본문으로]
- 복소수 근이라고도 함. [본문으로]
- 바로 위 각주에 달린 내용입니다. 증명이 복잡하니 너무 어렵다고 느껴진다만 결과만 참고하세요. [본문으로]
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