반응형 해석학(Analysis)/배경, 기초5 유리수의 조밀성(Density of Rationals) 유리수의 조밀성은 여러 수학 과목의 수많은 정리나 성질을 밝히는 과정에서 상당히 빈번하게 등장합니다. 물론 증명을 매순간 하지는 않고, 성질을 가져다 쓰는 경우가 많습니다. 1. 유리수의 조밀성 정리($R.A$) 1.6) 유리수의 조밀성(Density of rationals) 임의의 $a0$ 라 하자. 아르키메데스 성질 ③에 의하여 $\displaystyle \frac{1}{n} 0$ 에 대해서도 $\displaystyle \frac{1}{n} \max \left\{ \displaystyle \frac{1}{a},\disp.. 2024. 3. 9. 아르키메데스 성질(Archimedean principle) 아르키메데스 성질은 정수론, 대수학, 해석학에서 자주 사용되며 실수의 완비성 공리의 따름정리의 한 예입니다. 아르키메데스 성질은 아래의 박스에서 ①이 가장 일반화된 식에 해당하는데, ①을 조금 쉽게 다듬하면 더 직관적으로 받아들일 수 있는 ②와 ③이 나온다고 할 수 있습니다. 증명은 여러 방법이 있겠으나 보다 쉬운 방법으로 ②를 해서 일반화된 ①을 뽑고 그로부터 ③을 도출할 것입니다. 가장 일반적인 아르키메데스 성질을 말하면 보통 ①을 통해 표현합니다. 정리($A.N$) 1.5 [아르키메데스 성질(Archimedean principle)] ① 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여 어떤 임의의 $M\in\mathbb{R}$ 이 주어졌다고 하자. 그러면 $N\varepsilon >M$ 을 만족하는 .. 2023. 4. 16. 실수의 완비성 공리(Completeness axiom) 실수를 건설하는 세 가지 공리 중 마지막으로 소개할 것이 완비성 공리입니다. 완비성 공리를 사용하면 정확히 유리수와 실수의 구분이 가능해집니다. 그 까닭은 유리수는 완비적이지 않기 때문입니다. 개념을 소개하고, 왜 그러한지 설명해 보겠습니다. 공리($A.N$) 1.3 [실수의 완비성 공리(Completeness axiom)] 공집합이 아닌 집합 $E\subseteq \mathbb{R}$ 이 위로 유계이면, $E$ 는 반드시 유한한 최소상계를 갖는다. 우리가 알고 있는 수들의 집합은 항상 공리를 통해 건설됩니다. 예를 들면 보통 자연수는 페이노 공리계를 사용하고, 실수의 경우는 여태까지 소개한 체 공리, 순서 공리, 완비성 공리를 만족하는 집합으로 정의됩니다. 그렇다면 이 세 공리를 만족하는 수 집합은 오.. 2023. 3. 11. 유계와 상한, 하한(Bounded, supremum, infimum) 대학교 1학년의 미적분학에서 수열의 극한을 다룰때 즈음 유계에 관한 설명이 등장하는 경우가 있습니다. 교과서마다 설명 여부가 다를 수 있지만 배운다고 할지라도 아주 자세하게 다루지는 않습니다. 집합에 대해 유계의 개념과, 상한 및 하한은 이후 고급 수학 분야에서 아주 흔하게 등장하는 개념이며 어렵지 않기 때문에 정확히 잘 정리하고 넘어가는 것이 중요합니다. 뜻 자체도 번역이 잘 되어 있는 편이기 때문에 직관적으로 받아들이는 것도 쉽습니다. 1. 유계, 상한과 하한 1) 정의 정의($A.N$) 1-1 집합 $E\subseteq \mathbb{R}$ 이 공집합이 아니라고 가정하자. ① 집합 $E$ 가 '위로 유계(bounded above)'라는 것은 모든 $a\in E$ 에 대하여 $a\leq M$ 을 만족.. 2023. 3. 11. 실수의 체 공리, 순서 공리(Field axiom, order axiom in Real number system) 해석학(Analysis)은 잘게 쪼갠 것(쪼갤 석,析)을 푼다(풀 해,解)는 뜻입니다. 잘게, 작게 쪼갠다는 표현을 수학에서 사용하면 보통 무엇이 먼저 떠오르시나요? 고등학교 수학 정도를 공부해보신 분이라면 미분이 먼저 떠오르지 않을까 싶습니다. '미분'은 한자를 보면 '작게 나눈다'라는 뜻이고 '적분'은 '나누어 쌓는다(더한다)'라는 뜻입니다. 실제로 해석학은 미적분학의 심화 버전이라고 할 수 있습니다. 물리학으로 따져보자면 일반물리학에서 현대물리 파트를 양자역학 과목에서 심화하여 배우는 것이나 뉴턴역학 파트를 고전역학 과목에서 심화하여 배우는 것, 그리고 전자기 파트도 역시 전자기학 과목에 가서 심화하여 배우는 것과 비슷합니다. 심화하여 배운다는 것은 학부 과정의 언어로 표현하면 '엄밀하게' 공부한다.. 2023. 3. 10. 이전 1 다음 반응형
