실수의 완비성 공리(Completeness axiom)

실수를 건설하는 세 가지 공리 중 마지막으로 소개할 것이 완비성 공리입니다. 완비성 공리를 사용하면 정확히 유리수와 실수의 구분이 가능해집니다. 그 까닭은 유리수는 완비적이지 않기 때문입니다. 개념을 소개하고, 왜 그러한지 설명해 보겠습니다.

 

공리($A.N$) 1.3
[실수의 완비성 공리(Completeness axiom)]
공집합이 아닌 집합 $E\subseteq \mathbb{R}$ 이 위로 유계이면, $E$ 는 반드시 유한한 최소상계를 갖는다.

 

우리가 알고 있는 수들의 집합은 항상 공리를 통해 건설됩니다. 예를 들면 보통 자연수는 페이노 공리계를 사용하고, 실수의 경우는 여태까지 소개한 체 공리, 순서 공리, 완비성 공리를 만족하는 집합으로 정의됩니다. 그렇다면 이 세 공리를 만족하는 수 집합은 오로지 실수여야만 할 것입니다.

 

실수 집합과 복소수 집합이 다른 것은 허수단위 $i$ 의 존재 여부로 간단히 해결됩니다. ^[각주:1] 실수에서 한 단계 축소한 수 집합인 유리수는 그럼 세 공리가 성립하지 않을까요? 유리수는 완비성 공리가 성립하지 않습니다. 반례를 들면서 그 까닭을 찾아봅시다.

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예제 1) 집합 $A=\left\{ r\in \mathbb{Q}\mid r^2<2 \right\}$ 를 전체집합이 $\mathbb{R}$ 이 아닌 $\mathbb{Q}$ 라고 가정하였을 때 상한이 존재하는지 조사하여라.

 

 

Sol) $A$ 는 반드시 위로 유계입니다. $r^2<2$ 이기 때문에 $r$ 값 역시 어떤 숫자보다는 작습니다. 바로 $\sqrt{2}$ 이지요. 그렇기에 위로 유계임은 확실합니다. 그런데 $\sqrt{2}$ 는 유리수가 아닙니다. 다시 말해 순환하지 않는 무한소수이기에 별 방법을 동원해도 절대 유리수로 표현할 할 수가 없습니다. 따라서 $E$ 의 상한이 존재하는 경우 유리수가 아닙니다.

 

그렇다면 유리수의 집합에 대해서는 완비성 공리가 성립하지 않는 것입니다. $A$ 가 반드시 유한한 최소상계를 갖는다는 것이 완비성 공리인데 '유리수의 완비성 공리'가 참이 되기 위해서는 유리수 범위에서 $\sqrt{2}$ 가 존재한다는 뜻이 되지요. 이는 모순입니다. 그래서 완비성 공리는 실수만을 떠받치는 공리가 됩니다.$_\blacksquare$

 

 

완비성 공리를 바탕으로 따름정리라고 할 수 있는 두 정리가 있는데, 축소 구간 성질과 아르키메데스 성질입니다. 후자의 것을 다음 글에서 증명해 보겠습니다.

 

 

 

[참고문헌]

William R. Wade - Introduction to Analysis, 4E

 

 

 

1. 허수가 들어가면 대소관계 파악이 불가능하다는 것을 고등학교에서 배웠던 기억이 나실 겁니다. 실수는 순서 공리로 대소를 반드시 구분할 수 있지요. [본문으로]