유리수의 조밀성(Density of Rationals)

 

유리수의 조밀성은 여러 수학 과목의 수많은 정리나 성질을 밝히는 과정에서 상당히 빈번하게 등장합니다. 물론 증명을 매순간 하지는 않고, 성질을 가져다 쓰는 경우가 많습니다.

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1. 유리수의 조밀성

 

정리($R.A$) 1.6) 유리수의 조밀성(Density of rationals)
임의의 $a<b$ 인 두 실수 $a,b\in\mathbb{R}$ 가 주어졌다고 하자. 그러면 $a< q< b$ 를 만족하는 $q\in\mathbb{Q}$ 가 반드시 존재한다.

증명) 1) $a>0$ 라 하자. 아르키메데스 성질 ③에 의하여 $\displaystyle \frac{1}{n} < a\in\mathbb{R}$ 을 만족하는 $n\in\mathbb{N}$ 이 존재하고, 똑같이 $b-a >0$ 에 대해서도 $\displaystyle \frac{1}{n} < b-a$ 를 만족하도록 자연수 $n$ 을 잡을 수 있다. 그래서 $n > \max \left\{ \displaystyle \frac{1}{a},\displaystyle \frac{1}{b-a} \right\}$ 이 되도록 자연수 $n$ 을 잡는다.

이제 집합 $E=\left\{ k\in\mathbb{N}\middle |\frac{k}{n}\leq a \right\}$ 를 생각하자. 위의 아르키메데스 정리의 적용으로부터 $k=1\in E$ 는 분명하므로 $E\neq \emptyset$ 이다. 그러면 $k\leq na$ 에서 $E$ 는 상계 $na$ 에 대하여 위로 유계이다. $E\subset \mathbb{Z}$ 이므로 정리($R.A$) 1.4)에 의하여 $k_0=\sup E$ 인 $k_0$ 가 $E$(그리고 물론 $\mathbb{N}$ 에도)에 속한다.

이제 $m=k_0+1$ 이라 하고 서로소인 두 정수 $m,n$ 에 대하여 $q=\displaystyle\frac{m}{n}=\displaystyle\frac{k_0+1}{n}$ 이라고 하자. $k_0=\sup E$ 이므로 $m\notin E$ 에서, $k_0=na$ 인 $na$ 에 대하여

$$q=\frac{m}{n}=\frac{k_0+1}{n}>\frac{k_0}{n}=a$$
즉 $q > a$ 이다. 한편, $k_0\in E$ 이므로 

$$b=a+(b-a)=\frac{k_0}{n}+(b-a) > \frac{k_0}{n}+\frac{1}{n}>\frac{k_0+1}{n}=\frac{m}{n}=q$$
에서 $b>q$ 이다. 결론적으로 $a<q<b$ 인 유리수 $q$ 가 존재한다.

2) $a\leq 0$ : 아르키메데스 성질 ①을 쓰면 $a\in\mathbb{R}$ 이므로 $k> -a$ 를 만족하는 $k\in\mathbb{N}$ 이 존재한다. 그러면 $0 < k+a < k+b$ 가 되고, 1)에 의하여 $k+a < r < k+b$ 를 만족하는 유리수 $r$ 을 잡을 수 있다. 따라서 $q=r-k$ 라 하면 $q\in\mathbb{Q}$ 가 되므로 $a<q<b$ 가 성립한다. $_\blacksquare$