아르키메데스 성질(Archimedean principle)

 

 

아르키메데스 성질은 정수론, 대수학, 해석학에서 자주 사용되며 실수의 완비성 공리의 따름정리의 한 예입니다.

 

아르키메데스 성질은 아래의 박스에서 ①이 가장 일반화된 식에 해당하는데,  ①을 조금 쉽게 다듬하면 더 직관적으로 받아들일 수 있는 ②와 ③이 나온다고 할 수 있습니다. 증명은 여러 방법이 있겠으나 보다 쉬운 방법으로 ②를 해서 일반화된 ①을 뽑고 그로부터 ③을 도출할 것입니다. 가장 일반적인 아르키메데스 성질을 말하면 보통 ①을 통해 표현합니다.

 

정리($A.N$) 1.5
[아르키메데스 성질(Archimedean principle)]

① 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여 어떤 임의의 $M\in\mathbb{R}$ 이 주어졌다고 하자. 그러면 $N\varepsilon >M$ 을 만족하는 $N\in\mathbb{N}$ 이 항상 존재한다.

② 임의의 $x\in\mathbb{R}$ 이 주어졌을 때, $n>x$ 를 만족하는 $n\in\mathbb{N}$ 이 반드시 존재한다.
(= 주어진 임의의 실수보다 큰 자연수가 항상 존재한다)

③ 임의의 $y\in\mathbb{R}^+$ 이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{1}{n}< y$ 를 만족하는 $n\in\mathbb{N}$ 이 반드시 존재한다.
(= 주어진 임의의 양의 실수보다 작은 자연수의 역수가 항상 존재한다)

증명) 순서를 바꿔서 ②부터 증명한다.

② 귀류법을 사용하자. 주어진 실수 $x$와 $\forall n\in \mathbb{N}$ 에 대하여 $x>n$ 이라고 하자. 그러면 완비성 공리에 의하여 $\mathbb{N}\subset \mathbb{R}$ 이므로 $x$ 는 $\mathbb{N}$ 의 상계이고, 그 중 최소상계를 $s$ 라 하자. 그러면 정리($A.N$) 1.3 에 의하여 $s-1<n_0\le s$ 를 만족하는 자연수 $n_0$ 가 존재하고, 이는 $n_0+1>s$ 를 뜻한다. 그런데 (페이노 공리계, 즉 자연수의 정의에 의하여) $n_0+1\in\mathbb{N}$ 이므로, 이는 $s$ 가 $\mathbb{N}$ 의 상한이라는 가정에 모순이다.

① 두 실수 $a,b$ 가 주어졌고 $a>0$ 이다. 만일 $a>b$ 이면 $n=1$ 일 때 주어진 식이 성립한다. 만일 $a\le b$ 이면 실수 집합은 나눗셈에 대해 닫혀 있으므로 $\displaystyle\frac{b}{a}\in \mathbb{R}$ 이고, 고로 위의 ②에 의하여 주어진 실수보다 큰 자연수 $n$ 이 항상 존재하므로 $\displaystyle\frac{b}{a}< n$ 이다. 이것을 정리하면 $b<na$ 가 된다.

③ ①에 의하면 $a=y>0$ 인 실수라고 하였을 때 $b=1$ 로 선택하여 $1<ny$ 가 성립함을 알 수 있다. 고로 $y>\displaystyle\frac{1}{n}$ 을 만족하는 자연수 $n$ 이 존재한다. $_\blacksquare$