반응형 집합론(Set Theory)/기수론7 기수의 거듭제곱(Exponentiation of cardinal number) 이제 기수의 거듭제곱을 정의하려고 합니다. 거듭제곱이면 $b^a$ 와 같은 형태인데, 이는 $b$ 가 $a$ 번 곱해졌음을 뜻합니다. 그렇다면 기수가 $b^a$ 의 값을 가진다는 것은 어떤 뜻일까요? 1. 기수의 거듭제곱 정의($S.T$) 4-10) 기수의 거듭제곱 $a,b$ 가 기수이고 집합 $A$ 와 $B$ 의 기수가 각각 $a,b$ 라 하자. $a\neq 0$ 일 때, $B^A$ 는 $A$ 에서 $B$ 로 가는 모든 함수의 집합으로 정의하여 $B^A:=\left\{ f\mid f:A\rightarrow B \right\}$ 로 표기한다. 이때, 기수의 거듭제곱을 $b^a:=\left| B^A \right|=\left| \left\{ f\mid f:A\rightarrow B \right\} \righ.. 2023. 12. 17. 기수의 덧셈과 곱셈(Addition and product of cardinal number) 이제 기수끼리의 덧셈과 곱셈을 해보려고 합니다. 무한집합의 기수를 연산할 때는 실수의 덧셈과 곱셈과는 차이가 있다는 점을 주의해야 합니다. 오늘의 키워드는 '서로소'입니다. 1. 기수의 덧셈 정의($S.T$) 4-7) 기수의 덧셈(Addition of cardinality) $a,b$ 를 기수라 하자. 이때 두 기수의 합을 $a+b:=\left| A\cup B \right|$ 로 정의하고, 여기서 두 집합 $A,B$ 는 서로소이며 각각의 기수는 $\left| A \right|=a\;,\;\left| B \right|=b$ 이다. 그러니까 기수의 덧셈을 하려면 더하기 전 두 집합이 서로소여야 합니다. 주어진 두 기수 $a,b$ 에 대하여 이를 기수로 갖는 서로소인 두 집합을 반드시 택할 수 있다고 장담할 .. 2023. 11. 27. 칸토어의 정리(Cantor's Theorem) 여태까지 비가산집합의 예시를 몇 개 다루었는데, 실수보다 큰 기수를 갖는 무한집합을 보지는 못했습니다. 기수에 대한 기본적인 개념을 습득하면 이제 칸토어의 정리로 넘어갈 수 있고, 나중에 이를 활용해서 실수보다 더 큰 기수를 가지는 집합이 있는지를 확인해볼 수 있습니다. 1. 칸토어의 정리 정리($S.T$) 4.18) 칸토어의 정리(Cantor's Theorem) 다음 두 명제를 모두 칸토어의 정리라고 한다. 둘은 동치이다. ① 임의의 집합 $X$ 에 대해서, $X$ 의 기수는 $X$ 의 멱집합(=$X$ 의 모든 부분집합들을 원소로 같는 집합)의 기수보다 항상 작다. 즉, $$\left| X \right| < \left| \mathcal{P}(X) \right|=2^{\left| X \right|}$$ .. 2023. 11. 26. 집합의 기수와 칸토어-슈뢰더-베른슈타인 정리(Cardinal number of set and Cantor-Schröder-Bernstein Theorem) 이제 기수를 도입하여 무한집합 사이의 가산집합, 비가산집합에 대해 나눌 것이고, 가산집합의 가부번집합 중에서, 또 비가산집합들 중에서도 무한집합의 크기나 힘의 차이가 있는지를 알아볼 것입니다. 예를 들어 자연수 집합보다 작은 가부번집합이 있을까요? 실수 집합보다 큰 비가산집합이 있을까요? 유리수보다는 클 것 같고 실수보다는 작을 것 같은 무한집합이 있을까요? 이러한 답을 찾아보기 위해 기수라는 개념이 필요합니다. 1. 기수의 정의와 공리 정의($S.T$) 4-4) 기수의 공리 집합 $A$ 에 대한 '기수(cardinal number or cardinality)'는 다음의 공리를 만족시키는 수로 정의한다. A1) 모든 집합 $A$ 는 그 집합 자신에 부여되는 기수를 부여받고, $\mathrm{Card}A$.. 2023. 11. 26. 칸토어의 대각선 논법으로 실수가 비가부번집합임을 보이기(Real number is nondenumerable by using Cantor's diagonal method) 칸토어의 대각법은 수학에서 몇가지 중요한 정리들을 증명하는데 사용됩니다. 매우 참신한 아이디어라 이를 어떻게 떠올렸을지 참 신기한 생각이 많이 듭니다. 오늘은 칸토어의 대각법을 이용해서 실수 집합이 무한집합이며 가부번집합이 아님을 증명할 것입니다. 결과를 먼저 설명하면 여태까지 자연수, 정수, 유리수가 가부번집합임을 보였는데, 실수는 비가부번 즉 비가산집합이고, 무리수 집합 역시 그러합니다. 공교롭게도 이 수학 개념이 2024년 수능특강 독서의 과학/기술 2번째 지문으로 수록되어 있습니다. 수학적으로 증명을 하는 과정은 고등학생에게 대단한 도전이 될 수 있습니다. 그럼에도 제가 고등학생 수준으로 약간 눈높이를 낮추어 영상을 만든 것이 있습니다. 이곳을 참고하시기 바랍니다. 1. 실수는 비가산집합이다. 정.. 2023. 11. 25. 가부번집합과 가산집합(Denumerable and countable set) 무한집합에 대한 논의를 마쳤기 때문에 이제 본격적으로 집합의 원소를 어떻게 셀 지에 대해 연구해 보려고 합니다. 1. 집합의 대등 정의($S.T$) 4-2) 집합의 대등 두 집합 $X,Y$ 에 대하여 일대일대응 $f:X\rightarrow Y$ 가 존재할 때, $X$와 $Y$는 '대등(Equipotent)'하다고 하며 $X\sim Y$ 로 나타낸다. $f:X\rightarrow Y$ 에 대해 $X$ 와 $Y$ 가 대등하면, 간단히 $f:X\sim Y$ 로 표기한다. 일대일 대응을 만들 수 있는 두 집합 사이의 관계를 대등이라고 정의합니다. 예를 하나 들어보자면 $\mathbb{N}$ 과 $\mathbb{N}-\left\{ 1 \right\}$ 은 같은 집합이 아니지만, 일대일대응인 함수를 만들 수 있으므.. 2023. 11. 25. 유한집합과 무한집합(Finite and Infinite sets) 집합 $A$의 원소의 개수를 중고교 수학에서 $n(A)$ 라 표기합니다. 그리고 원소의 개수는 유한집합에 대해 셀 수 있다고 말합니다. 무언가의 개수를 셀 수 있다는 말을 하기 위해서는, 일단 개수에는 한계가 존재해야 하고, 정확히 몇 개인지 자연수를 통해서 나타내야 합니다. 예를 들어서 개수를 셀 때 3.5개나 $\sqrt{2}$ 개라는 표현은 좀처럼 사용하지 않습니다. 그러면 무한집합에 대해서는 어떠할까요? 무한집합의 원소의 개수는 셀 수 없는 것처럼 보입니다. 끝이 없기 때문이죠. 하지만 이러한 직관이 수학적으로 꼭 옳지 않을 수 있다는 사실에 대해 분석해 보려고 합니다. 예를 들어, 수직선에서 $[0,100]$을 생각해봅시다. 자연수의 개수와 정수의 개수는 분명이 셀 수 있고 유한합니다. 하지만 .. 2023. 11. 16. 이전 1 다음 반응형
