반응형 미분방정식(Differential equation)/1,2계 기초 미분방정식9 2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해 [The Second solution of second-order linear Homogeneous ODE] 이전 글과 이어집니다. 이제 두번째 해가 어떻게 생겼는지 직접 구해봅시다. 두번째 해는 첫번째 해와 연관지어 적을 수 있습니다. 여기서 연관지어 적는다는게 두 해의 관계가 상수배로 이어져서 선형 종속임을 뜻하는 것이 아닙니다. 두 해가 존재하면, 둘은 선형 독립 관계입니다. 굳이 강조해서 말하는 이유는 두번째 해의 모양이 첫번째 해의 곱처럼 묘사되어 있기 때문입니다. 그러니 적분식이 있음을 살펴보면, 절대 선형 종속이 아님을 파악할 수 있습니다. 정리($D.E$) 2.9 2계 선형 동차 상미분방정식 $$y''+p(x)y'+q(x)y=0\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$ 의 해공간의 두 기저 중 첫번째 해(기저)를 $y_1(x)$라 하자. 그러면 두번째 해(기저)는 $$y_2(x)=y_1(x)\i.. 2021. 12. 22. 2계 선형 동차 상미분방정식의 해공간의 기저가 2개임을 증명 [Prove that the Second-order Linear ODE has at most two basis of its solution basis] 상미분방정식의 order는 1,2계까지만 다루는 것이 정석입니다. 사실상 1,2계가 대부분이고 특수함수들도 2계에서 발생합니다. 또한, 2계까지를 학습한다면, 자연스레 $n$계 상미분 방정식까지 확장시켜 논의해보는 것이 가능하기 때문입니다. 오늘은 2계 선형 상미분방정식의 마지막 내용, 곧 해의 개수가 2개이며 3개 이상이 될 수 없음을 보일 것이고, 첫번째 해를 구했다면 두번째 해도 첫번째 해를 이용해 구할 수 있음을 정리할 것입니다. 여기서 주의할 것이 있습니다. 대부분의 교과서에서 앞서 설명한대로 '해의 개수'라 적어두었지만 정확히 말하면 '해공간의 기저'가 2개이지, 원래 미분방정식의 해는 무수히 많음을 곱씹어 보아야 합니다. 그래서 일반해는 선형결합으로 쓰는 것이고요. 즉 기본해 집합의 원소가 .. 2021. 12. 22. 계수가 상수인 2계 선형 비동차 미분방정식 5) 우변에 여러 함수가 존재할 때 앞서서 우변에 삼각함수, 다항함수, 지수함수 등이 존재할 때의 미분방정식을 살펴보았습니다. 이번에는 그것들이 우변에 합쳐져 존재할 때 해를 어떻게 구하는지 논의해 보도록 하겠습니다. 정리($D.E$) 2.7 2계 선형 비동차 미분방정식 $$ay''+by'+cy=f(t)+g(t)$$ 의 특수해는 우변을 각각 분리한 두 개의 미분방정식 $$ay''+by'+cy=f(t)\;\;,\;\;ay''+by'+cy=g(t)$$ 의 특수해를 각각 $y_{p1},y_{p2}$ 라 하였을 때 $y_{p1}+y_{p2}$ 이다. 증명) $$ay''+by'+cy=f(t)\;\;\;\cdots \;\;(1)\\ ay''+by'+cy=g(t)\;\;\;\cdots \;\;(2)$$ 의 특수해를 각각 $y_{p1},y_{p2}$ 라.. 2020. 12. 20. 계수가 상수인 2계 선형 비동차 미분방정식 4) 우변이 다항식 또는 다항식과 지수함수의 곱인 경우 이번에는 우변에 다항식만 존재하거나 다항식과 지수함수의 곱 형태의 함수가 존재할 때 2계 선형 비동차 미분방정식을 푸는 방법을 알아봅시다. 정리($D.E$) 2.6 $n$차 다항식 $P_n(x)$ 에 대하여 $(D-a)(D-b)y=P_n(x)e^{cx}$ 의 특별해는 $$\left\{\begin{matrix} c\neq a\;,c\neq b\;:\;y_p=Q_n(x)e^{cx}\\\\ \;c=a\;,a\neq b \;:\; y_p=xQ_n(x)e^{cx}\\\\ c=a=b\;:\;y_p=x^2Q_n(x)e^{cx} \end{matrix}\right.$$ 위 공식에서, $c=0$인 경우 지수함수가 사라지고 다항식만 남게 됩니다. 또한 $P_n(x),Q_n(x)$ 에서 첨자 $n$은 최고차항이 $n$인 다항.. 2020. 12. 20. 계수가 상수인 2계 선형 비동차 미분방정식 3) 우변이 sin, cos 함수인 경우 이번에는 복소 지수함수(Complex Exponentials)를 사용하여 실수부분, 허수부분을 취해 해를 구하는 방법을 소개할 것입니다. 우변에 사인이나 코사인이 등장하게 된다면 허수단위 i를 지수에 포함하는 지수함수가 코사인과 사인의 각 부분을 가지는 오일러 공식 $$e^{ix}=\mathrm{cos}\,x+i\,\mathrm{sin}\,x $$ 으로 쪼개질 수 있다는 수학적 사실에 기반한 것입니다. 그래서 우변에 사인, 코사인이 등장했을 때는 우변을 지수함수로 바꿔서 푸는 과정이 등장하기 때문에, 우변이 지수함수일 때 2계 선형 미분방정식의 풀이법을 반드시 숙지하고 있어야 합니다. 정리($D.E$) 2.5 $(D-a)(D-b)y=\left\{\begin{matrix} \;k\,\mathrm{sin}\.. 2020. 12. 19. 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식 2) 우변이 상수이거나 지수함수일 때 이제 2계 선형 비동차 미분방정식을 풀어봅시다. 우변이 0이 아닐 때를 다룰 것인데, 우변이 어떤 함수인지에 따라 풀이법이 상이하므로 유형을 나누어 풀어볼 예정입니다. 1. 계수가 상수인 2계 선형 (비동차) 미분방정식 $$y''+py+qy=g(t)\;\;\;\cdots \;\;(1) \\\\ y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)\;\;\; \cdots \;\;(2)$$ 계수가 상수이고, 우변이 0이 아닌 2계 선형 동차 미분방정식의 일반적인 꼴은 이와 같습니다. 우변이 0인 경우는 좀 더 간단하고, 이전 포스팅에서 다룬 바 있습니다. 1계 선형 미분방정식의 경우 해를 특정한 꼴의 공식으로 나타낼 수 있었지만, 2계 선형 미분방정식의 경우 1계처럼 y의 일반적인 해를 x에 관한 식으로 표현한 일반화.. 2020. 12. 15. 계수가 상수인 2계 선형 동차 미분방정식 1 ) 우변이 0일 때 해를 완벽하게 해석적으로 작성할 수 있는 미분방정식은 전체 미분방정식 집합 중에서는 매우 작은 영역을 차지합니다. 대수방정식과 마찬가지로 미분방정식도 고계(high-order)인 경우 해를 만들기가 까다로워지기 때문에, 대부분 2계 미분방정식까지를 제대로 이해하는 것을 요구합니다. 게다가 물리학과 공학에서 자연을 기술하는 가장 많은 형태의 방정식이 바로 2계 선형 미분방정식입니다. 이를 잘 풀면 각각의 과목에서 그들을 마주칠 때마다 적절한 도구로 해석하는 일이 가능해질 것입니다. 참고로 이 글을 읽으면서 2계 선형 미분방정식의 해를 선형결합으로 쓰는 이유에 대해 설명한 미분방정식에서 일반해를 선형결합으로 쓰는 이유 미분방정식에서는 해를 나타낼 때 선형결합을 정말 많이 활용합니다. 본격적으로 이를 접하는 .. 2020. 12. 14. 분리 가능한 미분방정식 (Separable Equaion) 방정식의 한 쪽에는 $y$에 관한 항만 있고, 다른 쪽에는 $x$에 관한 항만 있게 변형할 수 있는 형태의 미분 방정식을 '분리 가능한 방정식(Seperable Equation)' 이라고 합니다. 미분방정식의 목적은 결국 $y=\cdots$ 과 같이 어떠한 꼴로 식을 만드는 것이고, 처음 식에 $dy$가 포함되어 있기 때문에, 결국 적분을 해서 $dy$를 $y$로 바꾸는 과정이 필요할 것입니다. 분리 가능한 방정식은 $dy$와 $dx$를 각각의 변으로 나누고, $y$와 $x$에 관한 항들을 $dy,dx$가 있는 항에 남겨 양변을 동시 적분해서 원하는 식을 얻을 수 있는 꼴을 가지고 있습니다. 그래서 항만 잘 조절하고, 적분을 해주면 끝나서 상당히 쉽게 답을 얻습니다. 핵심은 $y'$ 이 등장했을 .. 2020. 12. 14. 1계 선형 미분방정식을 적분인자를 이용해 풀기 (Linear First-order ODEs using integrating factor method) 과학과 공학에서 자연현상을 기술하는 많은 현상은 미분방정식을 통해 간결하게 표현됩니다. 이들 중 학부과정에서 많이 마주치는 것은 2계 선형 미분방정식입니다. 이를 풀려면 1계 선형 미분방정식에 대한 이해를 필요로 합니다. 고계 미분방정식으로 나아가기 위한 손풀기 단계라 생각하고 차근차근 원리를 헤아려 봅시다. 이 포스팅은 1계 선형 미분방정식을 풀고 해를 구하는 것에만 집중하며, 이 해의 특성에 대한 심도있는 논의는 여기서 진행하고 있습니다. 해당 글은 본 포스팅을 학습한 뒤에 확인할 것을 권장합니다. 1. 1계 선형 미분방정식(Linear First-Order ODEs) 정리($D.E$) 2.1 1계 선형 미분방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다. $$y'+p(x)y=q(x)$$ 이것의 해는 $$y.. 2020. 12. 14. 이전 1 다음 반응형
