연관 르장드르 다항식은 르장드르 다항식의 일반화판으로, 구면 좌표계에서 편미분방정식을 변수분리법으로 풀 때 방위각 파트에서 방위각의 주기성 때문에 $m$ 값이 정수여야 한다는 조건이 붙게 되는데 그 때 $m=1$일 때가 르장드르 다항식, $m$이 일반적인 정수값을 가질 때는 연관 르장드르 다항식이라 부릅니다.
르장드르 다항식은 다음과 같은 두 가지 방법으로 획득할 수 있습니다.
(1) 르장드르 미분 방정식을 푸는 경우
(2) 구면좌표계에서 편미분방정식을 변수분리법으로 푸는 경우
(1)이 조금 더 근원적인 방법이고, 2)는 응용적 측면에서의 획득법에 가깝습니다. 그래서 연관 르장드르 방정식을 정리할 때도 우선 미분방정식에서 출발하려 합니다.
1. 연관 르장드르 미분방정식
1) 미분방정식
다음의 2계 선형 미분방정식을 '연관 르장드르 방정식(Associated Legendre Equation)'이라고 부른다.
$$\left( 1-x^2 \right)P''(x)-2xP'(x)+\left( \lambda -\frac{m^2}{1-x^2} \right)P(x)=0 \;\;\;\;\;(m^2\leq l^2)\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$ 이 방정식의 해를 '연관 르장드르 함수(Associated Legendre Function)'이라고 한다.
풀이법은 다음과 같이 치환을 해서 접근하면 됩니다.
$$P=P(x)=\left( 1-x^2 \right)^{\displaystyle \frac{m}{2}}u(x)$$
그러면 $P', P''$ 의 값은
$$P'=\left( 1-x^2 \right)^{\displaystyle \frac{m}{2}}u'-mx\left( 1-x^2 \right)^{\displaystyle \frac{m}{2}-1}u
\\\\
P''=\left( 1-x^2 \right)^{\displaystyle \frac{m}{2}}u''-2mx\left( 1-x^2 \right)^{\displaystyle \frac{m}{2}-1}u'
+\left\{ -m\left( 1-x^2 \right)^{\displaystyle \frac{m}{2}-1}+
\left( m^2-2m \right)x^2\left( 1-x^2 \right)^{\displaystyle \frac{m}{2}-2} \right\}u$$
처음 미분방정식에 대입하면,
$$\left( 1-x^2 \right)u''-2xu'+\left\{ \lambda-m(m+1) \right\}\,u=0\;\;\;\cdots \;\;\;(2)$$
로 바꿀 수 있는데, 이것은 $m=0$ 일 때 르장드르 방정식과 완전히 같습니다. $l$ 을 음이 아닌 정수로 두고 $\lambda=l(l+1)$ 관계를 적용한 뒤, 일단 이 식을 한번 더 미분합니다.
$$\left( 1-x^2 \right)(u'')'-2x(u')'+\left\{ l(l+1)-(m+2)(m+1) \right\}\,u'=0\;\;\;\cdots \;\;\;(3)$$
결과로부터 결론을 얻을 수 있습니다. $(2)$와 $(3)$을 비교해볼까요? $(3)$은 $(2)$ 에서 $u$ 대신 $u'$ 을, $m$ 대신 $m+1$ 이 들어간 방정식이 됩니다. 곧,
$P_l(x)$ 가 $m=0$ 일 때 $(2)$의 해이다.
$P'_l(x)$ 는 $m=1$ 일 때 $(2)$의 해이다.
$P''_l(x)$ 는 $m=2$ 일 때 $(2)$의 해이다.
이렇게 귀납적으로 추론하면1
$u=\displaystyle\frac{d ^{m=k}}{dx^{m=k}}P_l(x)$는 $m=k$ 일 때 $(2)$ 의 해이다.
로 일반화를 할 수가 있습니다. 그래서 이 방정식의 해를 다음과 같이 정의합니다.
연관 르장드르 방정식의 해는
$$u=\frac{d ^{m}}{dx^{m}}P_l(x)\;\;\Rightarrow \;\; y=P(x)=\left( 1-x^2 \right)^{\displaystyle \frac{m}{2}}
\frac{d^m }{dx^m}P_l(x)=P_l^m(x)$$ 와 같고, 여기서 $P_l^m(x)$ 를 '연관 르장드르 함수(Associated Legenre Function)'이라 한다.
2) 짝홀(Parity)
$$P_l^{m}(x)=|x| = \left\{ \begin{array}{cl}
0 \;\;\;(m>l) \\\\
\;\;\mathrm{even\; function} \;\;(l+m : \mathrm{even})\\\\
\;\;\mathrm{odd\; function} \;\; (l+m : \mathrm{odd})
\end{array} \right.$$
연관 Legendre 다항식은 m과 l의 짝/홀 동시에 영향을 받습니다. 그 이유는 원래 다항식이 미분을 하게 되면 차수가 바뀌면서 우함수 기함수가 변화한다는 특성을 가지기 때문으로, 이 덕분에 m에 의해 영향을 받는 것이고, l의 효과도 물론 있습니다. 둘을 합친 값에 따라 parity의 성질이 정해집니다.
2. 로드리게스 공식
특수함수들은 로드리게스 공식으로 구하는 것이 가능한데, 그것은 '스투름-리우빌 이론'과 연관되어 있습니다. 그 이론이 로드리게스 공식을 만들어내는 밑바탕이긴 한데 일반화된 로드리게스 공식을 증명하는 과정은 어려운 수학적 테크닉이 있지는 않지만 꽤나 산수가 복잡하기 때문에 따로 다루진 않을 것입니다.
연관 르장드르 함수의 로드리게스 공식(Rodrigues formula)는 다음과 같다. $(m\geq 0)$
$$P_l^m(x)=(-1)^m\left( 1-x^2 \right)^{\displaystyle \frac{m}{2}}\frac{d^m}{dx^m}P_l(x)$$
$m<0$ 인 정수일 때는, 아래와 같이 구하면 된다.
$$P_l^{-m}(x)=\left( -1 \right)^m\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(x)$$
연관 르장드르 방정식에서 $m$은 정수이기만 하면 되기 때문에 음수가 될수도 있습니다. 하지만 우리의 방정식은 $m^2$에서 출발했기 때문에 위 식은 $m$이 양수일 때에 맞추어져 있습니다. 만일 $m^2\leq l^2$ 에서 $m<0$ 까지 포괄하는 식으로 쓰고 싶다면, $-l\leq m\leq l$ 에서
$$P_l^m(x)\;\;\Rightarrow \;\;(-1)^m P_l^\left| m \right|(x)$$
가 되므로 위 박스의 두번째 식을 얻을 수 있게 됩니다. 잘 보면, $m$이 음수일 때의 연관 르장드르 함수는 $m$이 양수일 때의 연관 르장드르 함수에 비례하는 관계가 성립합니다. 물론 저 식을 유도하는 과정은 꽤나 복잡해서 생략했습니다.
- 논리적으로 따지자면 사실 전 이런 표현을 좋아하진 않습니다. 수학적 귀납법도 귀납법이 아니라 사실 연역법이기에... [본문으로]
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